Алгебра высказываний. Историческая справка

Математическая логика – раздел науки, истоки которого восходят к Аристотелю (384 – 322 г. до н. э.). Как математическая дисциплина начала формироваться в середине XIX в., благодаря работам английского логика и математика Джорджа Буля (1815 – 1864).

Целью логики является анализ методов рассуждений, при этом логика, прежде всего, интересуется формой, а не содержанием рассуждений, то есть выясняет, следует истинность заключения из истинности посылок. Это время характеризовано кризисом в физике, обусловленным ломкой старых представлений о материальном объекте, не учитывающих, что всякий материальный объект неисчерпаем по своим свойствам; кризисом в математике, обусловленных открытием порядков, то есть рассуждений, приводящих к противоречиям. Известны и логические парадоксы.

Примером множеств являются множество всех студентов группы, множество преподавателей, множество всех людей. Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множество могут быть и элементами множеств. Например, множество студенческих групп в качестве элементов содержит множество студентов отдельных групп. Большинство множеств не являются элементами самих себя. Например, множество всех людей не являются элементом себя, так как само не человек. Однако множество всех множеств – элемент самого себя.

Рассмотрим теперь множество А всех таких множеств Х, что Х не есть элемент х. Согласно определению, если А есть элемент А, то А также и не есть элемент А, а если А не есть элемент А, то А есть элемент А. В любом случае А есть элемент А и А не есть элемент А. Этот парадокс открыт Б. Расселом в 1902г.

Семантический парадокс «лжеца» таков.

Некоторое лицо говорит: «Высказывание, которое я сейчас произнесу, ложно». Стоящее в кавычках высказывание не может быть без противоречия ни истинным, ни ложным. Этот парадокс был хорошо известен в древности (парадокс Эвбулида – IV в. до н.э.).

Так как, логические рассуждения составляют скелет всей математики, и теория множеств лежит в ее основе, то парадоксы побудили математиков к поиску решения проблем и были предложены различные аксиоматические теории.

Главная цель применение в логике математической символики заключалась в том, чтобы свести операции с логическими заключениями к формальным действиям над символами. При этом исходные положения записываются формулами, которые преобразуются по определенным законам, а полученные результаты истолковываются в соответствующих понятиях.

Логика нашла применение в вычислительной технике в теории преобразовании и передачи информации, в экономике, биологии, психологии и т.д.

Математическая логика разделяется на ряд отдельных разделов: двузначная, многозначная, пороговая, непрерывная, нечеткая, порядковая логики.

Объектом математической логики являются любые дискретные конечные системы, а ее главная задача – структурное моделирование таких систем.