Зависимость от времени ВБР и вероятности отказа
Так как в начальный момент времени объект был исправен, то
р(t=0) = 1,аq(t=0) = 0.(2-4)
Для момента времени, равного бесконечности
р(t=∞) = 0,аq(t=∞) = 1,(2-5)
то есть бесконечно долго никакой объект работоспособным быть не может, когда-нибудь отказ неизбежен.
В теории вероятностей существует понятие функции распределения случайной величины. Это вероятность того, что значение случайной величины Т окажется меньше или равной заданного времени t.
F(t) = р{Т<=t}.(2-6)
Очевидно, что вероятность отказа q(t)представляет собой функцию распределения случайной величины Т - наработки до отказа.
F(t) = р{Т<=t} = q(t).(2-7)
Условные вероятности отказа и ВБР
Вероятности р(t)иq(t)рассмотрены за наработку, отсчитываемую с начала, с нуля времени. Но иногда нужно определить ВБР в течение заданного промежутка времени такого объекта, который некоторое время уже отработал (рис.2.2).
t=0 t t+∆t
t
∆t
Рис. 2.2.
Теперь t - время, отработанное объектом безотказно с начала работы, а ∆t-время, которое объект должен проработать после момента времениt.
Получили условную вероятность р(t,t+∆t)того, что объект не откажет на интервале от tдо t+∆tпри условии, что он не отказал на интервале от 0 до t.
р(t,t+∆t) = р{Т>t+∆t при условии Т>t}.(2-8)
Отметим, что ранее рассмотренные выражения ВБР и вероятности отказа также можно представить в виде вероятностей на интервале
р(t) = р(0,t)и q(t) = q(0,t).(2-9)
Рассмотрим составляющие выражения (2-8) по отдельности. На основании определения (2-1)
р{Т>t+∆t} = р(t+∆t),ар{Т>t} = р(t).(2-10)
В теории вероятностей есть формула полной вероятности
р(С) = р(А) р(В/А)(2-11)
-вероятность сложного события Сравна произведению вероятности события Ана условную вероятность события Впри условии А.Если события А иВ не зависят друг от друга, то выражение (2-11) записывается в виде простого произведения
р(С) = р(А) р(В).(2-12)
Мы примем допущение о независимости друг от друга отказов на интервале от0 до tи на интервале от t до t+∆t. Тогда полная вероятность р(0,t+∆t)того, что объект не откажет на интервале от t=0до t+∆tопределится следующим образом
р(0,t+∆t) = р(0,t) р(t,t+∆t),(2-13)
а искомая условная вероятность р(t,t+∆t)того, что обьект не откажет на интервале от tдо t+∆tпри условии, что он не отказал на интервале от 0до tопределится отношением
р(t+∆t)
р(t,t+∆t) = --------,(2-14)
Р(t)
Отсюда можно определить условную вероятность отказа q(t,t+∆t)на интервале∆t при условии исправной работы объекта на интервале от 0до t
р(t+∆t)
q(t,t+∆t) = 1 - р(t,t+∆t) = 1 - -------- =
Р(t)
(2-15)
р(t) - р(t+∆t) q(t+∆t) - q(t)
= ----------------- = -----------------.
Р(t) р(t)
Дата добавления: 2021-09-25; просмотров: 339;