Зависимость от времени ВБР и вероятности отказа

Так как в начальный момент времени объект был исправен, то

р(t=0) = 1,аq(t=0) = 0.(2-4)

Для момента времени, равного бесконечности

р(t=∞) = 0,аq(t=∞) = 1,(2-5)

то есть бесконечно долго никакой объект работоспособным быть не может, когда-нибудь отказ неизбежен.

В теории вероятностей существует понятие функции распределения случайной величины. Это вероятность того, что значение случайной величины Т окажется меньше или равной заданного времени t.

F(t) = р{Т<=t}.(2-6)

Очевидно, что вероятность отказа q(t)представляет собой функцию распределения случайной величины Т - наработки до отказа.

F(t) = р{Т<=t} = q(t).(2-7)

Условные вероятности отказа и ВБР

Вероятности р(t)иq(t)рассмотрены за наработку, отсчитываемую с начала, с нуля времени. Но иногда нужно определить ВБР в течение заданного промежутка времени такого объекта, который некоторое время уже отработал (рис.2.2).

t=0 t t+∆t

t

∆t

Рис. 2.2.

Теперь t - время, отработанное объектом безотказно с начала работы, а ∆t-время, которое объект должен проработать после момента времениt.

Получили условную вероятность р(t,t+∆t)того, что объект не откажет на интервале от tдо t+∆tпри условии, что он не отказал на интервале от 0 до t.

р(t,t+∆t) = р{Т>t+∆t при условии Т>t}.(2-8)

Отметим, что ранее рассмотренные выражения ВБР и вероятности отказа также можно представить в виде вероятностей на интервале

р(t) = р(0,t)и q(t) = q(0,t).(2-9)

Рассмотрим составляющие выражения (2-8) по отдельности. На основании определения (2-1)

р{Т>t+∆t} = р(t+∆t),ар{Т>t} = р(t).(2-10)

В теории вероятностей есть формула полной вероятности

р(С) = р(А) р(В/А)(2-11)

-вероятность сложного события Сравна произведению вероятности события Ана условную вероятность события Впри условии А.Если события А иВ не зависят друг от друга, то выражение (2-11) записывается в виде простого произведения

р(С) = р(А) р(В).(2-12)

Мы примем допущение о независимости друг от друга отказов на интервале от0 до tи на интервале от t до t+∆t. Тогда полная вероятность р(0,t+∆t)того, что объект не откажет на интервале от t=0до t+∆tопределится следующим образом

р(0,t+∆t) = р(0,t) р(t,t+∆t),(2-13)

а искомая условная вероятность р(t,t+∆t)того, что обьект не откажет на интервале от tдо t+∆tпри условии, что он не отказал на интервале от 0до tопределится отношением

р(t+∆t)

р(t,t+∆t) = --------,(2-14)

Р(t)

Отсюда можно определить условную вероятность отказа q(t,t+∆t)на интервале∆t при условии исправной работы объекта на интервале от 0до t

р(t+∆t)

q(t,t+∆t) = 1 - р(t,t+∆t) = 1 - -------- =

Р(t)

(2-15)

р(t) - р(t+∆t) q(t+∆t) - q(t)

= ----------------- = -----------------.

Р(t) р(t)