Метод взвешивания (метод функций окна)

КЧХ трансверсального дискретного фильтра представляет собой тригонометрический полином, т.е. функцию вида

. (13.1)

Здесь не предполагается каузальность фильтра; если каузальность необходима, ее легко можно обеспечить умножением (13.1) на фазовый множитель e^-jMω. Если желаемая КЧХ имеет вид H_ж(e^jω), то синтез КИХ-фильтра состоит в нахождении тригонометрического полинома, близкого в каком-то смысле к H_ж(e^jω). Обычно в качестве критерия близости выбирается среднеквадратическая ошибка аппроксимации

,

тогда наилучшая аппроксимация обеспечивается, если коэффициентами полинома (13.1) являются коэффициенты разложения желаемой КЧХ в ряд Фурье

. (13.2)

Эти коэффициенты представляют собой отсчеты импульсной характеристики КИХ-фильтра, в общем случае некаузального. После соответствующей задержки получается импульсная характеристика каузального фильтра h[n] = b_n-M, 0 ≤ n ≤ N – 1, где N = 2M + 1. Поскольку всякая ЛИС-цепь однозначно определяется своей импульсной характеристикой, на этом синтез КИХ-фильтра можно было бы считать законченным. Однако если желаемая КЧХ разрывна (например, как часто бывает на практике, требуется АЧХ прямоугольной формы), получаемая КЧХ, как сумма усеченного ряда Фурье (13.1), содержит гиббсовские осцилляции. Поэтому применяют дополнительное умножение импульсной характеристики на весовую последовательность («окно») подходящей формы.

Причина явления Гиббса заключается в слишком медленном убывании коэффициентов Фурье-разложения разрывной функции, поэтому все применяемые окна убывают от середины к краям [7]. Для достижения приемлемых избирательных свойств длина импульсной характеристики, определяющая объем вычислений, на практике составляет обычно несколько сотен.

Кроме метода взвешивания, иногда применяют другой способ борьбы с гиббсовскими осцилляциями. На этапе формулирования требований к фильтру вводят переходную полосу, в которой задают закон непрерывного изменения АЧХ (например, линейный закон) [7]. Тогда ряд Фурье сходится равномерно и явление Гиббса отсутствует. Это не означает, что исчезает неравномерность АЧХ, просто осцилляции теперь убывают по амплитуде с увеличением порядка фильтра.

Следует также упомянуть машинные методы синтеза КИХ-фильтров на основе численной оптимизации. При этом подбором коэффициентов КИХ-фильтра минимизируется взвешенная среднеквадратическая ошибка

,

где q(ω) – весовая функция, позволяющая управлять относительной значимостью ошибок на разных участках частотной оси, или максимальная взвешенная погрешность

.

Эти методы позволяют получить меньшие погрешности аппроксимации по сравнению с описанным выше методом оконного взвешивания, но их анализ значительно сложнее [7].