Синтез БИХ-фильтров на основе аналого-цифровой трансформации

Сравнение БИХ-фильтров с КИХ-фильтрами показывает, что для получения примерно одинаковых частотно-избирательных свойств (имеется в виду крутизна спада АЧХ) КИХ-фильтр должен иметь в 10…20 раз более высокий порядок. Это вполне объяснимо, так как известно, что быстро изменяющиеся сигналы имеют широкий спектр, а благодаря двойственности (дуализму) времени и частоты отсюда следует, что круто изменяющейся функции частоты (АЧХ) должна соответствовать функция времени (импульсная характеристика) большой длительности. Но для КИХ-фильтра порядок – это количество отсчетов импульсной характеристики минус 1, в то время как БИХ-фильтр даже первого порядка имеет импульсную характеристику бесконечной длительности. Таким образом, в тех случаях, когда вид фазочастотной характеристики не играет определяющей роли для практического применения разрабатываемого фильтра, следует использовать БИХ-фильтр, так как при этом получается существенный выигрыш в быстродействии (или в аппаратурных затратах на реализацию) фильтра. То обстоятельство, что не всякий БИХ-фильтр оказывается устойчивым, не представляет такой заметной опасности, как может показаться на первый взгляд. Во-первых, устойчивость может быть проверена (и обеспечена) на этапе проектирования цифрового фильтра; во-вторых, характеристики цифровых фильтров не подвержены дрейфу с течением времени и при изменении внешних условий, следовательно, устойчивый фильтр останется устойчивым в течение всего времени работы (конечно, нужно учитывать возможность выхода аппаратуры из строя в результате катастрофического отказа; при этом может возникнуть неустойчивость). Следует также отметить, что в цифровых БИХ-фильтрах могут возникать незатухающие паразитные колебания (так называемые предельные циклы) вследствие своеобразного нарушения устойчивости при округлении дробных чисел; подробнее см. [7].

Наиболее широко применяются методы синтеза цифровых БИХ-фильтров, основанные на так называемой аналого-цифровой трансформации, т.е. на преобразовании аналогового фильтра с требуемыми характеристиками в цифровой (дискретный) фильтр.

Это объясняется, во-первых, трудностью решения задачи прямой аппроксимации желаемых характеристик дробно-рациональными передаточными функциями и, во-вторых, наличием развитой теории синтеза аналоговых фильтров и простотой преобразования аналоговых фильтров-прототипов в дискретные фильтры.

В качестве фильтров-прототипов наиболее часто применяются аналоговые фильтры Баттерворта, Чебышева, Золотарева-Кауэра (эллиптические) и Бесселя. Фильтры Баттерворта имеют при заданном порядке максимально гладкую АЧХ. Фильтры Чебышева имеют АЧХ, пульсирующую в полосе пропускания (фильтры I рода) или в полосе заграждения (фильтры II рода). АЧХ эллиптического фильтра пульсирует как в полосе пропускания, так и в полосе заграждения и поэтому имеет максимальную крутизну спада.

Все перечисленные фильтры характеризуются заметной нелинейностью фазочастотной характеристики. Фильтр Бесселя имеет ФЧХ, близкую к линейной в полосе пропускания.

Аналоговые фильтры принято описывать передаточными функциями, которые связаны с импульсными характеристиками преобразованием Лапласа [8]. Преобразование Лапласа связывает аналоговый сигнал x(t) с его образом (изображением) в виде функции X(p) комплексного переменного p. Мнимая ось комплексной p-плоскости представляет собой ось частот в описании аналогового сигнала. Аналогичную роль в описании дискретных сигналов играет единичная окружность z-плоскости.

Аналого-цифровая трансформация состоит в установлении связи комплексных переменных p и z. Выразив p в виде функции p = f(z) и подставив в выражение передаточной функции H_a(p) аналогового фильтра-прототипа, мы получили бы функцию комплексного переменного z, имеющую смысл передаточной функции H(z) дискретного фильтра. Трудность состоит в том, что, во-первых, мнимая ось p-плоскости имеет бесконечную, а единичная окружность z-плоскости – конечную длину 2π. Во-вторых, реализуемы только ЛИС-цепи конечного порядка, поэтому подстановка p = f(z) в дробно-рациональную функцию H_a(p) должна давать также дробно-рациональную функцию.

Поскольку на единичной окружности z = e^jω, а при дискретизации должно обеспечиваться равенство ω = ΩT_d, связь комплексных переменных p и z, обусловленная дискретизацией аналоговых сигналов, описывается выражениями

z = exp(pT_d) (13.4)

и

p = ln z / T_d , (13.5)

которые не являются дробно-рациональными. Различные способы преодоления этой трудности лежат в основе двух рассмотренных ниже методов аналого-цифровой трансформации.

Метод инвариантности импульсной характеристики.

Передаточная функция произвольного аналогового фильтра (с сосредоточенными параметрами) имеет вид дробно-рациональной функции комплексного переменного p. Такая функция может быть представлена в виде суммы дробей

где p_k, 1 ≤ k ≤ N – полюсы передаточной функции, а коэффициенты A_k определяются из условия равенства числителя передаточной функции H_a(p) и числителя правой части после приведения ее к общему знаменателю. (Здесь мы рассматриваем лишь практически важный случай, когда степень числителя H_a(p) меньше степени знаменателя, а все корни знаменателя некратные.)

Ввиду линейности преобразования Лапласа импульсная характеристика такого фильтра имеет вид суммы экспоненциальных функций непрерывного времени σ(t) – функция Хевисайда.

Очевидно, для того чтобы импульсная характеристика затухала со временем (т. е. фильтр был устойчивым), необходимо и достаточно, чтобы все полюсы были расположены в p-плоскости слева от мнимой оси.

Метод аналого-цифровой трансформации, известный под названием метода инвариантности импульсной характеристики, основан на прямом применении теоремы отсчетов (теоремы Котельникова). Рассматривая импульсную характеристику аналогового фильтра-прототипа как функцию времени (сигнал), можно заменить ее последовательностью отсчетов, выбранных с достаточно малым шагом дискретизации T_d.

Результатом дискретизации импульсной характеристики аналогового фильтра будет последовательность

,

где r_k = exp(p_kT_d) – полюсы передаточной функции цифрового фильтра, u[n] который

Из полученного выражения видно, что при дискретизации импульсной характеристики каузального аналогового фильтра с дробно-рациональной передаточной функцией получается сумма каузальных экспоненциальных последовательностей, следовательно, реализуемому аналоговому фильтру соответствует реализуемый цифровой фильтр. Кроме того, полюсы цифрового фильтра связаны с полюсами фильтра-прототипа соотношением r_k = exp(p_kT_d), 1 ≤ k ≤ N, поэтому устойчивому аналоговому фильтру (Re{p_k} < 0) соответствует устойчивый цифровой фильтр того же порядка N (так как |r_k| = |exp(p_kT_d)|< 1). Зная полюсы цифрового фильтра, можно сразу записать его передаточную функцию

и на этом аналого-цифровая трансформация заканчивается, так как, зная передаточную функцию, легко составить структурную схему и разностное уравнение цифрового фильтра.

Поскольку импульсная характеристика цифрового фильтра есть продукт дискретизации импульсной характеристики аналогового фильтра, КЧХ цифрового фильтра связана с КЧХ аналогового фильтра соотношением

, (13.6)

где Ω_d = 2π/T_d – частота дискретизации. Очевидно, если КЧХ прототипа не финитна, а это всегда так для фильтров конечного порядка, то неизбежно наложение (суммирование) «хвостов» сдвинутых копий H_a(•), и, как следствие, искажение формы получаемой КЧХ дискретного фильтра по отношению к КЧХ фильтра-прототипа. Этот эффект ограничивает практическое применение метода инвариантности импульсной характеристики в основном задачами синтеза цифровых фильтров нижних частот.

Метод билинейного преобразования основан на аппроксимации выражения (13.5), позволяющей сохранить дробную рациональность передаточной функции. Подставив разложение функции логарифма в ряд, ограниченное первым слагаемым, получим

,

или

. (13.7)

Это выражение дробно-рационально относительно z^-1 поэтому после его подстановки в дробно-рациональную передаточную функцию H_a(p) аналогового прототипа получается снова дробно-рациональная, а следовательно, реализуемая передаточная функция H(z) цифрового фильтра.

Выясним, как располагаются в z-плоскости полюсы передаточной функции H(z), если полюсы передаточной функции прототипа H_a(p) находятся в левой части комплексной плоскости (иными словами, является ли устойчивым цифровой фильтр, если устойчив фильтр-прототип).

Выразим на основе (13.7) комплексное переменное z через p:

z^-1pT_d + pT_d = 2 - 2 z^-1;

отсюда

. (13.8)

Чтобы выяснить, в какое множество z-плоскости отображается мнимая ось p-плоскости (ось частоты), подставим в это выражение jΩ вместо p, тогда получим выражение для образа мнимой оси p-плоскости при отображении, описываемом выражением (13.8):

.

Числитель и знаменатель этой дроби суть комплексно-сопряженные числа, поэтому модуль дроби равен единице при всех Ω. Это означает, что мнимая ось p-плоскости отображается преобразованием (13.8) на единичную окружность z-плоскости. Но переменная Ω – это частота, соответствующая описанию аналогового фильтра; роль частотной оси для цифровых цепей играет единичная окружность на z -плоскости (множество точек e^jω при значениях ω, принимающих значения из интервала от -π до π). Заменяя z на e^jω, получим

.

Тогда

следовательно, связь «аналоговой» и «цифровой» частот при билинейном преобразовании описывается выражениями

ω/2 = argtg(ΩT_d/2),

ΩT_d/2 = tg ω/2. (13.9)

Поскольку π ≤ ω ≤ -π, а -∞ < Ω < ∞, нетрудно видеть, что вся аналоговая частотная ось (бесконечной длины) отображается на единичную окружность (длины 2π), причем это отображение однократно в отличие от (13.6), и вследствие этого различные участки оси Ω испытывают различное «сжатие» при отображении на ось ω (единичную окружность). Это необходимо учитывать при проектировании цифровых фильтров на этапе определения требований к частотам среза фильтров-прототипов.

Заслуживает внимания вопрос, насколько вредна нелинейная трансформация частотной оси с точки зрения задачи синтеза цифровых фильтров. Очевидно, что при проектировании фильтров с желаемыми АЧХ кусочно-постоянного вида указанная нелинейность трансформации частотной оси не влияет на качество цифрового фильтра, так как приводит лишь к необходимости на этапе построения аналогового фильтра-прототипа учитывать последующее изменение характерных частот фильтра (граничных частот) при билинейном преобразовании. Если же требуется построить фильтр, не являющийся типовым (ФНЧ, ФВЧ, полосовым или режекторным), то в общем случае нелинейность отображения частотной оси приводит к искажению формы АЧХ. Например, интегрирующий аналоговый фильтр имеет амплитудно-частотную характеристику гиперболического вида ~1/ Ω и при билинейном преобразовании не приводит к интегрирующему цифровому фильтру.

Для того чтобы устойчивый аналоговый фильтр трансформировался в устойчивый же цифровой фильтр, требуется, чтобы при билинейном преобразовании левая полуплоскость p-плоскости отображалась внутрь единичной окружности. Разлагая p на мнимую и вещественную части, получим для билинейного преобразования (13.8)

Поскольку мнимые части числителя и знаменателя одинаковы, модуль дроби будет меньше 1, если Re(pT_d) < 0. Тогда любой полюс функции H_a(p), лежащий слева от мнимой оси, отображается в полюс функции H(z), расположенный внутри единичной окружности. Это означает, что устойчивый аналоговый фильтр трансформируется преобразованием (13.7) в устойчивый дискретный фильтр.

Итак, установлено, что билинейное преобразование трансформирует устойчивый реализуемый аналоговый фильтр в устойчивый реализуемый цифровой фильтр. При этом вследствие однократности отображения частотной оси на единичной окружность отсутствует наложение «хвостов» КЧХ, что является достоинством билинейного преобразования. К недостаткам следует отнести то, что не сохраняются ни импульсная, ни фазочастотная характеристики фильтра (точнее говоря, импульсная и фазочастотная характеристики дискретного фильтра могут сильно отличаться по форме от соответствующих характеристик прототипа).

Порядок расчета цифрового фильтра методом билинейного преобразования состоит в следующем:

1) определение характерных частот ЦФ и пересчет их в частоты аналогового фильтра в соответствии с (13.9);

2) синтез аналогового фильтра, удовлетворяющего заданным условиям;

3) подстановка формулы (13.7) билинейного преобразования в выражение H_a(p) передаточной функции фильтра-прототипа.

Реализация цифровых фильтров (и других алгоритмов цифровой обработки сигналов) возможна на различной элементной базе.

Выбор конкретного воплощения алгоритма ЦОС производится разработчиком с учетом различных показателей, к которым относятся стоимость, массогабаритные характеристики, энергопотребление, быстродействие и т.п. В каждом конкретном случае один или несколько показателей играют наиболее важную роль в выборе способа реализации. Например, в системах подвижной радиосвязи главными показателями являются быстродействие (обработка должна выполняться в реальном времени) и массогабаритные характеристики, при этом желательно обеспечить малое энергопотребление и умеренную цену мобильной станции. Устройство обработки сигналов в таких системах работает по жестким алгоритмам, которые не изменяются в течение всего срока эксплуатации изделия; точность представления данных (разрядность) должна быть достаточна для обеспечения комфортности восприятия речи (разборчивости и возможности узнавания собеседника) и является поэтому сравнительно невысокой. В системах обработки геофизической информации, напротив, обработка в реальном времени не требуется, массогабаритные характеристики не играют доминирующей роли, однако на передний план выступают точность представления данных и гибкость реализуемых алгоритмов.

Поэтому в таких системах обработка сигналов реализуется обычно на универсальных цифровых вычислительных машинах. В системах реального времени (например, в подвижной радиосвязи), когда на обработку отсчета сигнала отводится временной интервал, равный шагу дискретизации, как правило, используются специализированные цифровые устройства, называемые цифровыми сигнальными процессорами (ЦСП). Следует отметить, что в последнее время в устройствах цифровой обработки сигналов широкое распространение получили программируемые логические интегральные схемы (ПЛИС). ПЛИС представляет собой интегральную схему сверхвысокой степени интеграции, содержащую на кристалле порядка 1 миллиона логических вентилей, которые могут быть программным путем соединены в логическую структуру, реализующую заданный алгоритм цифровой обработки сигналов аппаратным способом. Таким образом, ПЛИС сочетают в себе преимущества аппаратной реализации алгоритмов (главное из которых – быстродействие) с достоинствами программируемых устройств.

КАНАЛЫ СВЯЗИ