Метод центробежного моделирования

Метод центробежного моделирования заключается в замене гравитационных сил инерционными, создаваемыми в модели в результате ее вращения в каретке центрифуги. В принципе, метод позволяет моделировать объемное НДС пород вокруг выработок как в упругой области, так и за ее пределами.

Модель объекта, выполненную в заданном геометрическом масштабе, помещают в центрифугу и путем равномерного вращения нагружают объемными инерционными силами, придавая тем самым породам модели некоторый фиктивный объемный вес. Это позволяет в ряде случаев для изготовления модели использовать материал, одинаковый по своим физико-механическим свойствам с материалом натуры, что создает определенные преимущества перед методом эквивалентных материалов.

Центрифуга представляет собой коромысло, укрепляемое на вертикальной вращающейся оси (рис.4.4). К нему прикрепляют съемные каретки, в которые помещаются исследуемые модели. Из условий безопасности и с учетом значительных размеров центрифуг (диаметр 3…5 м), их размещают в помещениях с массивными ограждениями, чаще всего – в подвалах.

Рис. 4.4. Конструктивная схема центрифуги: 1 – фундамент; 2 – ось
вращения; 3 – подшипники; 4 – коромысло; 5 – коммутаторы; 6 – каретки;
7 – электродвигатель

С помощью специального устройства при работе центрифуги измеряют и контролируют скорость вращения и разворот кареток из вертикального в горизонтальное положение (при наборе скорости вращения) и обратный разворот (при снижении скорости).

Наблюдения за деформациями модели ведут с помощью электрических или других тензодатчиков, аэростатических динамометров, сельсиновых пар, индикаторов часового типа и пр. датчиков, позволяющих в процессе вращения центрифуги непрерывно получать информацию на пульте управления (дистанционно). Фиксируя деформации и напряжения пород модели в различных точках, изучают таким путем закономерности процессов для моделируемых условий, а также устанавливают оптимальные параметры горно-технических объектов и сооружений по фактору устойчивости.

Для непосредственного наблюдения за макродеформациями моделей в процессе центрифугирования применяют также дистанционные фото-, киноустановки и кино-телевизионно-стробоскопные установки, позволяющие проследить кинетику деформаций модели на кинопленке. Стробоскопы (приборы, позволяющие фиксировать быстропротекающие периодические процессы) применяют также для визуального наблюдения.

При решении задач механики горных пород с применением центробежного моделирования обычно испытывают несколько идентичных моделей (моделей-близнецов), помещая их попарно в каретки центрифуги. Результаты экспериментов затем усредняют, одновременно контролируя достоверность опытов по признаку повторяемости результатов в пределах случайных отклонений, т. е. воспроизводимости эксперимента.

Метод центробежного моделирования с успехом и большой степенью надежности применяют при решении задач, связанных с определением размеров устойчивых потолочин камер, оптимальной формы и параметров бортов карьеров и отвалов, давления обрушенных пород на днища очистных блоков, влияния длительной нагрузки на крепь капитальных выработок, пройденных в пластичных глинистых породах и др. Использование специальных устройств позволяет моделировать в центрифуге одновременное действие статического поля напряжений и динамического поля, создаваемого при взрывных работах.

Достоинством центробежного моделирования является то, что это единственный из методов моделирования, в котором, благодаря использованию натуральных горных пород, соблюдается соответствие между размерами частиц и молекул. Для некоторых задач это имеет важное значение.

Вместе с тем данный метод имеет и ряд недостатков. Один из них – отсутствие однородности механического силового поля, т.к. вследствие ограниченного радиуса центрифуги силовые линии и эквипотенциальные поверхности в модели непараллельны. Кроме того, с удалением от центра тяжести модели в ту или иную сторону по ее высоте изменяется эффективный радиус вращения, соответственно, изменяется и масштаб моделирования. Указанное обстоятельство и технические возможности ограничивают предельные размеры моделей по высоте, а, следовательно, и возможные глубины моделируемой толщи пород.

При центробежном моделировании также крайне затруднительно, а иногда и совсем невозможно, воспроизводить слоистые толщи разнородных по составу и свойствам пород, большие технические трудности представляет и воспроизведение в модели перемещения забоя во времени, что ограничивает область эффективного применения данного метода, поэтому в ряде случаев возникает необходимость обращения к другим методам моделирования.

Метод применяют в случаях, когда необходимо смоделировать объемные силы, обусловленные весом вышележащих пород, и, в частности, для исследования устойчивости откосов, напряжений выработки и в грунтах под фундаментами зданий и сооружений, осадки сооружений и т.д. МЦМ успешно применен для исследований процессов взрывного разрушения горных пород и сейсмических колебаний.

Метод заключается в том, что при соблюдении геометрического подобия исследуемой области в натуре изготавливают модель, которую затем помещают на центрифуге, и под действием центробежных сил в модели создается механическое подобие сил, действующих в натуре. Размеры модели в основном определяются техническими возможностями центрифугирующих установок.

В связи с этим практическая сторона вопроса значительно осложняется. При работе с мелкими моделями, для которых вопрос создания соответствующих центрифуг решается сравнительно просто, возникают непреодолимые трудности соблюдения геометрического подобия структуры породы, ее слоистости и т.д., а также весьма затруднительно проведение замеров и измерений отдельных параметров в моделях. При работе с крупными моделями возникают значительные трудности в создании необходимых конструкций центрифуг. В силу этих обстоятельств метод центробежного моделирования в чистом виде не нашел широкого применения в практике.

В настоящее время ведутся работы по использованию метода центробежного моделирования в сочетании с методом эквивалентных материалов и методом фотоупругости.

Сочетание методов центробежного моделирования и эквивалентных материалов имеет значение в тех случаях, когда необходимо произвести исследования механических процессов в больших объемах массивов горных пород, т.е. когда геометрический масштаб моделирования достаточно велик. В этом случае при моделировании механических процессов необходимо иметь очень небольшие по размерам физические модели, в которых практически невозможно выполнить исследования с достаточной для инженерных расчетов точностью. Сочетание указанных методов позволит разбить геометрический масштаб моделирования на два множителя таким образом, чтобы их произведение было равно заданному масштабу.

Метод центробежного моделирования, так же как и метод эквивалентных материалов, основывается на динамическом подобии Ньютона. Рассмотрим условия подобия при центробежном моделировании статических и динамических процессов массива горных пород.

Условия подобия статических процессов. Как уже указывалось выше, при рассмотрении метода эквивалентных материалов для обеспечения механического подобия процессов, связанных с устойчивостью пород при обнажении необходимо соблюдать соотношение (4.12).

Изучение многих физических явлений удобно проводить на естественных материалах. В этом случае физико-механические свойства среды остаются постоянными. Поэтому для сохранения условий инвариантности формулы (4.12) следует положить, что N_м = N_н, а g_м ¹ g_н.

Не изменяя физико-механических свойств материала натуры, величину g_м можно увеличить за счет инерционных сил, подвергая модель движению с не-

которым ускорением а. Тогда, согласно выражению (4.9), получаем

g_м = rа; g_н = rg,

где а – полное ускорение какой-либо точки модели на центрифуге, равное сумме тангенциального и нормального ускорений, т.е. а=а_t + а_п;

– плотность материала модели.

Подставив значения g_м и g_н в выражение (105), получим

(4.20)

Следовательно, основное правило центробежного моделирования статических процессов состоит в том, чтобы в том, чтобы на модель действовали объемные силы, превосходящие силы тяжести во столько раз, во сколько раз модель меньше исследуемой области в натуре.

Если модель размещена на центрифуге с вертикальной осью, то скалярная величина полного ускорения должна равняться выражению

, 4.21)

где – угловая скорость вращения;

– расстояние рассматриваемой точки модели от оси вращения;

– ускорение силы тяжести.

Используя формулу (4.21) нетрудно подобрать угловую скорость вращения wв соответствии с принятым масштабом моделирования. Из формул (4.20) и (4.21) получаем

(4.22)

откуда частота вращения центрифуги

(4.23)

Как видно из формулы (4.22), для соблюдения условия подобия необходимо, чтобы различные точки модели, расположенные на одной линии по радиусу, вращались с различной угловой скоростью в соответствии с расстоянием их от оси вращения, что практически не осуществимо.

Если обозначить размер модели в направлении R равным h, то согласно выражению (4.21)

(4.24)

где Dа – приращение ускорения в пределах высоты модели h.

При условии Dа << а, h << R и w²R >> g , будем иметь с известным приближением

Dа = w²h (4.25)

В этом случае относительная ошибка ускорений по высоте модели будет

(4.26)

Очевидно, что отношение при моделировании на центрифуге не может быть достигнуто очень малым, и относительная ошибка в величине ускорения может оказаться заметной.

В связи с этим при моделировании на центрифуге имеют место некоторое допущение и отступление от идеальных условий моделирования. Как показала практика проведения экспериментов, влияние этих допущений на точность моделирования будет минимальным, если размеры модели незначительны по сравнению с радиусом вращения R. Поэтому необходимо строить или очень малую модель, или очень большую центрифугу. Но уменьшение модели имеет свои пределы, определяемые точностью способов изготовления модели, однородностью употребляемых материалов и чувствительностью измерительной аппаратуры.

Исходя из практических соображений и имеющегося опыта считают, что наиболее реальные размеры радиуса вращения центрифуги R лежат в пределах от 2 до 3 м.

Профессор Г.И. Покровский считает, что ошибка наблюдений в результате принятых допущений будет расти прямо пропорционально масштабу геометрического подобия, т.е.

(4.27)

где d_н – среднеквадратичная ошибка наблюдений;

d_из – среднеквадратичная ошибка принятого метода измерения;

– геометрический множитель подобия.

Из этих соображений считают, что центробежное моделирование годится в основном для исследования статических или почти статических задач распределений напряжений и деформаций.

Как указывалось выше, методом центробежного моделирования успешно были решены некоторые статические задачи в грунтах, связанные с устойчивостью откосов, осадкой зданий и сооружений, распределением напряжений под фундаментами и т.д. Известно, что грунт, значительно увлажненный и подвергнутый действию тех или иных сил, приходит в то или иное окончательное состояние не сразу. Это вызывается тем, что при сжатии сильно увлажненного грунта вода, находящаяся в нем, должна перемещаться. Однако, как указывает проф. Н.М. Герсеванов, для стабилизации мелкозернистого грунта с малым коэффициентом фильтрации могут потребоваться десятки лет. Очевидно, при сохранении столь длительных сроков стабилизации в лабораторных опытах моделирование физических процессов, связанных со стабилизацией, утратило бы всякий смысл. Однако применение центробежного моделирования весьма ускоряет процесс стабилизации. Действительно, при центробежном моделировании все напряжения, а, следовательно, и давление на воду воспроизводятся в соответствии с действительностью. Вместе с тем все линейные размеры, а значит и длина фильтрационных каналов в модели в раз меньше, чем в действительности. Отсюда, применяя закон Дарси для движения вязкой жидкости, получим, что скорость фильтрации равна

(4.28)

где К – коэффициент фильтрации;

Dр – разность давления на участке фильтрации длиной .

Так как модель изготавливается из материала натуры, то К_к = К_м. Кроме того, как указывалось выше, Dр_н = Dр_м, а

Тогда из выражений (4.28) получим

. (4.29)

Следовательно, скорости фильтрации на модели должны быть во столько раз больше скорости фильтрации в натуре, во сколько раз линейные размеры модели меньше исследуемой области в натуре.

Что же касается масштаба времени, то исходя из формул:

(4.30)

получим после соответствующих преобразований

. (4.31)

Таким образом, все процессы, связанные с фильтрацией и вообще с вязкими деформациями, ускоряются при центробежном моделировании в раз. Следовательно, задачи, связанные со стабилизацией влажных грунтов, вполне могут быть исследованы методом центробежного моделирования.

Условия подобия динамических процессов. Сейсмические и сейсмовзрывные процессы могут быть в некоторых случаях воспроизведены и изучены на моделях с применением метода центробежного моделирования. При этом все возможные случаи можно разделить на две группы:

общее сейсмическое воздействие, когда источник возмущения находится

далеко от изучаемого объекта (землетрясение, сейсмовзрывное действие отдаленных взрывов);

местное сейсмовзрывное действие, когда источник возмущения находится от изучаемого объекта в непосредственной близости.

Основными параметрами статического процесса являются: ускорение а_н, период колебаний Т_н и смещение S_н.

Ускорение а_н при сейсмическом воздействии имеет не самостоятельное значение, а сопоставляется с величиной, определяющей устойчивость и прочность исследуемых объектов. Такой величиной является ускорение g_м , заменяющее ускорение силы тяжести g_н на модели. На основании условий подобия механических систем можно записать

. (4.32)

Чтобы обеспечить на модели те же условия устойчивости при систематическом воздействии, какие имеются в натуре, необходимо выполнить условие

. (4.33)

На основании этих выражений

. (4.34)

Ускорение а_н при землетрясениях от 1 до 12 баллов обычно составляет g_н. Период колебаний также изменяется в широких пределах – от нескольких сотых долей секунд до нескольких секунд. Если допустить, что сейсмические колебания имеют синусоидальный характер (гармонические колебания), то смещения могут быть определены по формуле

. (4.35)

Основываясь на условии геометрического подобия и используя выражения (4.34) и (4.35), определим масштаб моделирования периода колебаний

. (4.36)

Если модель изготовлена из материала натуры, то скорости распространения продольных и поперечных волн в натуре и на модели будут одинаковыми.

Тогда длина волн

l_м = СТ_м ; l_н = СТ_н ,

где С – скорость распространения деформаций.

На основании изложенного с учетом выражения (4.36) следует

.

Основным исходным условием при технической реализации критериев моделирования сейсмических воздействий следует считать вопрос о направлении действия ускорения а_н. Таким направлением, как показывает практика, следует считать горизонтальное, при котором наблюдается наиболее сильное разрушение. Для решения такой задачи можно применить так называемую «маятниковую» подвеску каретки с моделью (рис.4.5).

Рис. 4.5. Способы подвески каретки:

а) – «маятниковый»; б – обеспечивающий малый период колебаний;

в) – пружинный; 1 – каретка; 2 – подвесное устройство; 3 – пружина

Чтобы обеспечить заданный период колебаний, необходимо длину качающихся подвесок b определить исходя из закона качания математического

маятника

.

Принимая во внимание масштабы моделирования Т_м (4.36) и g_м (4.32) получаем

.

Если, например, Т_н = 3,16 с, g_н = 10 м/с², , то b = 2,5 см, что технически вполне осуществимо. Однако, если задаться Т_н= 1 с, то b = 0,25 см, то в этом случае конструкция подвески каретки может быть выполнена по схеме (рис. 4.5 , б), где b = 2(R – r)(R – радиус отверстия, r – радиус валика, вложенного в отверстие).

Для придания модели вертикальных колебаний применяют пружинную подвеску каретки (рис.4.5, в). Первоначальное удлинение пружины, которое затем обеспечивает колебательный процесс модели, должно равняться

.

При этом коэффициент жесткости пружины должен быть

,

где G_м – вес модели вместе с кареткой.

Приведение каретки с моделью в колебательное движение заключается в том, что заранее, до подвески к коромыслу центрифуги, каретка выводится из положения равновесия в ту или другую сторону и удерживается в этом положении стопорным устройством, управляемым с пульта экспериментальной установки.

В некоторых случаях стопорные механизмы могут быть заменены устройствами для активной раскачки каретки при ее вращении энергией взрыва заряда взрывчатого вещества соответствующего веса.

Условия подобия действия взрыва при применении метода центробежного моделирования весьма подробно изложены в научных трудах проф. Г.И.Покровского. Ниже приводятся условия подобия в общем виде при моделировании различных видов действия взрыва.

При действии взрыва в грунте возникают в очень короткий отрезок времени (10^-4 с) огромные давления взрывной волны, иногда превышающие 10⁶ МПа. Существующие расчетные формулы в основном базируются на эмпирическом материале и не отвечают действительной картине физических явлений, протекающих при взрыве в дисперсных системах. Поэтому применение моделирования для столь сложных явлений может дать особый эффект.

На основании термодинамического критерия проф. Г.И. Покровский устанавливает следующие условия подобия при моделировании взрыва в горных породах:

1) геометрическое подобие

2) силовое подобие

(4.37)

на основании которого имеем W_н = W_м ;

3) подобие критерия Коши

; (4.38)

на основании которого должно быть Е_н = Е_м , так как

;

4) подобие критерия Фруда

(4.39)

на основании которого должно быть поскольку при

имеет место

5) подобие критерия Эйлера

(4.40)

на основании которого получим W_н = W_м , так как имеем из условия подобия и значении критерия Эйлера

На первый взгляд, исходя из приведенных зависимостей (4.37)-(4.40) при одном и том же материале модели и натуры и аналогичном составе взрывчатых веществ добиться полного подобия невозможно. Однако, при центробежном моделировании, в связи с увеличением ускорения силы тяжести g_м по сравнению с g_н в раз, никаких изменений материала натуры в модели для достижения полного подобия не требуется – достаточно выполнить требования геометрического подобия.