Подобие физических полей

Подобие стационарных полей. Стационарным полем любой физической величины j называется совокупность значений этой величины во всех точках изучаемого пространства или объема. Стационарное поле не изменяется во времени. Обычно математическая формулировка определяется уравнением

j = f(x,y,z) (2.15)

Однако такой прием аналитического описания поля физической переменной j является не совсем правильным. Действительно, под значением j понимают любую физическую переменную (температуру, скорость, плотность, концентрацию и т.д.) Согласно правилу Фурье размерность правой части должна соответствовать размерности левой. Поэтому под знак функции f кроме координат x,y,z должны быть введены еще некоторые физические параметры с различными размерностями, с тем, чтобы размерности правой и левой части уравнения (22) были одинаковы. Кроме физических параметров под знак функции следует ввести геометрические параметры .

(2.16)

Допустим, что имеется две геометрически подобные системы, у которых поля физических переменных j₁ иj₂ имеют одинаковую размерность, т.е.

(2.17)

где – сходственные геометрические параметры подобных систем;

– соответственно, физические одноименные параметры (имеют одинаковую размерность).

Пусть j₁ иj₂ разделяются в своих системах так, что любой паре сходственных точек, т.е. при равенстве отношений

, (2.18)

имеет место равенство отношений

, (2.19)

При этом в общем случае .

Такие физические поля называются подобными стационарными. В подобных физических полях для сходственных одноименных физических параметров имеют место равенства

(2.20)

причем, в общем случае .

Таким образом, подобные стационарные физические поля с формально-геометрической точки зрения являются аффинными, т.к. их совмещение может быть осуществлено путем неравномерной деформации, т.е. если в качестве масштабов выбрать сходственные величины (геометрические, физические), то в сходственных точках подобных стационарных полей безразмерные координаты и безразмерные физические переменные соответственно равны.

Действительно, введя в равенство (2.18) и (2.19) масштабные преобразования

(2.21)

(2.22)

получим после сокращения на и

(2.23)

или (2.24)

Дополним преобразования (2.21) и (2.22) преобразованиями физических параметров

ý (2.25)

где – масштабы физических параметров ,… и сходственные масштабы одноименных физических параметров ,…

Докажем равенство сходственных безразмерных параметров.

Введя масштабные преобразования (2.25) в выражение (2.20)

(2.26)

Но из выражения (2.20)

, т.е.

или , что и требовалось доказать.

Подобие нестационарных полей. Нестационарным полем любой физической переменной y называется совокупность мгновенных их значений этой переменной во всех точках изучаемого пространства или объема. Значения переменной y изменяется во времени. Математически эта формулировка описывается уравнением

y = f(x, y, z, t), (2.27)

где t – время.

Исходя из предыдущих рассуждений о равенстве левой и правой части уравнения (34), запишем

. (2.28)

Допустим, в двух геометрических подобных системах поля имеют одинаковую размерность и заданы уравнениями

, (2.29)

где t₁, t₂ – сходственные моменты времени.

Два промежутка времени t₁ и t₂ называются сходственными, если они имеют общее начало отсчета и связаны преобразованием подобия вида

. (2.30)

Нестационарные поля y₁ и y₂ – подобны, если в каждой паре сходственных точек, т.е. при равенствах

,

и в сходственные моменты времени, т.е. при равенствах отрезков времени для первой и второй систем

(2.31)

будет иметь место равенство

. (2.32)

В общем случае множители подобия .

Следовательно, нестационарные физические поля также являются аффинными системами, и совмещение этих полей может быть достигнуто при неравномерной деформации. Таким образом, нестационарные физические поля обладают теми же свойствами, что и аффинные системы.

Так же как и для стационарного поля, в данном случае с помощью масштабных преобразований можно доказать, что у подобных нестационарных физических полей безразмерные одноименные координаты сходственных точек и безразмерные сходственные моменты времени равны, т.е.

. (2.33)

(2.34)

то (2.35)

При этом в общем случае .

В качестве простейшего примера рассмотрим скоростное поле течения жидкости в трубе при ламинарном режиме течения. Из гидродинамики известно, что это поле описывается уравнением

, (а)

Допустим, имеем две трубы различных диаметров, тогда уравнения скоростных полей для них можно записать в виде

(б)

. (в)

Для приведения уравнений (б) и (в) к безразмерному виду введем масштабные преобразования

. (г)

Из этих соотношений

.

Введя масштабные преобразования (г) в уравнения (б) и (в), получим

; (д)

. (е)

Нетрудно видеть, что при R₁ = R₂ или , т.е. в геометрически сходственных точках, должны быть W₁ = W₂ или

Следовательно, поля скоростей в обеих трубах подобны.