Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.
Рассмотрим точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) в общей декартовой системе координат.
Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками М1, М2, М3 необходимо, чтобы векторы были компланарны.
( ) = 0
Таким образом,
Уравнение плоскости, проходящей через три точки:
Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости.
Пусть заданы точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) и вектор .
Составим уравнение плоскости, проходящей через данные точки М1 и М2 и произвольную точку М(х, у, z) параллельно вектору .
Векторы и вектор должны быть компланарны, т.е.
( ) = 0
Уравнение плоскости:
Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам,
коллинеарным плоскости.
Пусть заданы два вектора и , коллинеарные плоскости. Тогда для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, векторы должны быть компланарны.
Уравнение плоскости:
Уравнение плоскости по точке и вектору нормали.
Теорема. Если в пространстве задана точка М0(х0, у0, z0), то уравнение плоскости, проходящей через точку М0 перпендикулярно вектору нормали (A, B, C) имеет вид:
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.
Уравнение плоскости в отрезках.
Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на -D
,
заменив , получим уравнение плоскости в отрезках:
Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно с осями х, у, z.
Уравнение плоскости в векторной форме.
где
- радиус- вектор текущей точки М(х, у, z),
- единичный вектор, имеющий направление, перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат.
a, b и g - углы, образованные этим вектором с осями х, у, z.
p – длина этого перпендикуляра.
В координатах это уравнение имеет вид:
xcosa + ycosb + zcosg - p = 0.
Расстояние от точки до плоскости.
Расстояние от произвольной точки М0(х0, у0, z0) до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 равно:
Аналитическая геометрия.
Уравнение линии на плоскости.
Определение. Уравнением линииназывается соотношение y = f(x) между координатами точек, составляющих эту линию.
Отметим, что уравнение линии может быть выражено параметрическим способом, то есть каждая координата каждой точки выражается через некоторый независимый параметр t.
Характерный пример – траектория движущейся точки. В этом случае роль параметра играет время.
Уравнение прямой на плоскости.
Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
Ах + Ву + С = 0,
причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А2 + В2 ¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.
Уравнение прямой по точке и вектору нормали.
Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением Ах + Ву + С = 0.
Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Пусть в пространстве заданы две точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:
Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.
На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:
если х1 ¹ х2 и х = х1, еслих1 = х2.
Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.
Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.
Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:
и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.
Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.
По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.
Определение. Каждый ненулевой вектор (a1, a2), компоненты которого удовлетворяют условию Аa1 + Вa2 = 0 называется направляющим вектором прямой
Ах + Ву + С = 0.
Уравнение прямой в отрезках.
Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, то, разделив на –С, получим: или
, где
Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.
Нормальное уравнение прямой.
Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем, то получим
xcosj + ysinj - p = 0 –
нормальное уравнение прямой.
Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы m×С < 0.
р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а j - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох
Угол между прямыми на плоскости.
Определение. Если заданы две прямые y = k1x + b1, y = k2x + b2, то острый угол между этими прямыми будет определяться как
.
Две прямые параллельны, если k1 = k2.
Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/k2.
Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А1х + В1у + С1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А1 = lА, В1 = lВ. Если еще и С1 = lС, то прямые совпадают.
Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы двух уравнений.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку
перпендикулярно данной прямой.
Определение. Прямая, проходящая через точку М1(х1, у1) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:
Расстояние от точки до прямой.
Теорема. Если задана точка М(х0, у0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как
.
Кривые второго порядка.
Дата добавления: 2017-10-04; просмотров: 1428;