Операции над матрицами

Сложение матриц

Складывать можно только матрицы одинаковой размерности. При сложении матриц одноименные элементы слагаемых матриц складываются.

Пример 1. Вычислить сумму указанных матриц.

Свойства сложения матриц. Сложение матриц коммутативно и ассоциативно.

1. Коммутативность:

A+B=B+A

2. Ассоциативность:

A+(B+C)=(A+B)+C.

Вычитание матриц осуществляется аналогично сложению, но с учетом знака «минус».

Пример 2. Вычислить разность указанных матриц.

Умножение матриц

Число столбцов матрицы A должно быть равно числу строк матрицы B, тогда говорят, что эти две матрицы согласуются по форме, и произведение AB существует. Если матрица A имеет размерность (m×n), а матрица B имеет размерность (n×k), то матрица C, являющаяся результатом произведения AB=C, будет иметь размерность (m×k). Условно это обозначим так:

.

Для матриц A (m×n) и B (n×m) существует как произведение AB, так и произведение BA. Произведение AB имеет размерность (m×m), а произведение BA - размерность (n×n). Естественно, что они в общем случае не равны. Даже в случае m=n, а значит, при одинаковой размерности (m×m) произведений AB и BA, эти произведения не обязательно равны. Если же оказывается, что они равны, т.е. AB=BA, то в этом случае говорят, что матрицы коммутативны.

Пример 3. Вычислить произведения указанных матриц:

;

.

Свойства умножения матриц. Умножение в общем случае не коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно.

1. Некоммутативность:

AB≠BA.

2. Ассоциативность:

(AB)C=A(BC).

3. Дистрибутивность:

(A+B)C=AC+BC.

Умножение на скаляр.

При умножении на скалярную величину каждый элемент матрицы умножается на него.

Умножение на диагональную матрицу.

Умножение слева матрицы A на диагональную матрицу D эквивалентно операции эквивалентную операции со строками A. При умножении справа матрицы A на диагональную матрицу D операции производятся со столбцами матрицы A.

Умножение транспонированных матриц(транспонирование произведения матриц):

(A∙B)^T = B^T∙A^T.

Умножение на единичную матрицу.

Умножение как слева, так и справа на единичную матрицу не изменяет исходную матрицу, т.е.