Статические и динамические модели
Статическойназывается модель объекта, отражающая оригинал в какой-то отдельный момент времени, т.е. «моментальная фотография» объекта. Например, буквально фотография или схема.
С фотографией (рис. 1.11) все ясно, что же касается схемы, то даже если это структурная схема с указанием передаточных функций звеньев, по ней явно не видно, как модель изменяется с течением времени (рис. 1.12).
Рис.1.11. Фотография как пример статической модели
Рис. 1.12. Структурная схема системы
Другой очевидный и знакомый пример статической модели –статическая характеристика, т.е. зависимость выходной переменной объекта (системы) от входной переменной в установившемся режиме, т.е. при t®∞: y(∞)=F[x(∞)] (рис. 1.13).
Рис. 1.13. Статическая характеристика системы ”System”
Динамическаямодель, в отличие от статической, учитывает изменения, происходящие в системе с течением времени. Это может выражаться в зависимости входной, выходной и промежуточных переменных от времени. Примером могут служить переходные функции – реакции систем на единичное ступенчатое входное воздействие (рис. 1.14).
Рис. 1.14. Переходная функция h(t) системы “System”
Обычно переходные функции получаются в результате: 1) аналитического решения; 2) численного интегрирования дифференциальных уравнений, описывающих исследуемую систему; 3) обратного преобразования Лапласа от передаточной функции системы, деленной на s. Модельв виде дифференциальных уравнений (ДУ) является широко распространенной динамической моделью.
Пример. Пусть система описывается моделью в виде дифференциального уравнения:
входное воздействие x(t)=1[t] – единичное ступенчатое (как на рис. 1.14), а начальные условия имеют вид: y(t=0) = 0, т.е. процесс начинается из начала координат.
Аналитическое решение. Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами (стационарное). Его решение складывается из двух слагаемых – общего и частного решения:
Общее решение ищется в виде:
где А – неизвестный коэффициент, определяемый из начальных условий;
l – корень характеристического уравнения, которое в данном случае выглядит так:
,
откуда l=–2.
В стандартной форме исходное уравнение должно иметь при y(t) коэффициент, равный единице. Для этого исходное уравнение разделим на 4 и получим:
Частное решение зависит от вида правой части ДУ; в данном примере, поскольку x(t)=1[t], частное решение будет равно константе:
Суммарное решение будет выглядеть так:
Теперь, подставив в решение y(t) начальное условие (для уравнения 1-го порядка оно одно), можно найти значение коэффициента А:
откуда А = –1,25. Окончательно решение имеет вид:
Поскольку входным воздействием было единичное ступенчатое, то полученное решение является переходной функцией и обозначается, как обычно, h(t). График этой функции показан на рис. 1.15.
Рис. 1.15. Переходная функция h(t) – решение ДУ из примера
Подобный h(t) характер (с разной погрешностью) имеют такие процессы, как разгон автомобиля, нагрев жидкости, накопление знаний в некоторой предметной области, увеличение численности популяции животных, рост производства (при определенных условиях) и многие другие. В этом заключается одно из важнейших свойств математическихмоделей – их универсальность.
Дата добавления: 2021-09-07; просмотров: 468;