СО СТАЛЬНЫМ СЕРДЕЧНИКОМ

Применение метода эквивалентных синусоид позволяет использовать векторные диаграммы при анализе процессов в катушке с ферромагнитным сердечником.

Для построения векторной диаграммы воспользуемся уравнением (2.7). За исходный принимаем вектор магнитного потока .

При этом учтем, что напряжение уравновешивает ЭДС , наводимую в обмотке w основным магнитным потоком :

.

Так как основной поток синусоидален , то эта ЭДС будет

(2.9)

Из выражения (2.9) следует, что ЭДС отстает от магнитного потока на угол , а напряжение опережает ток на угол , т.е. находится в противофазе с .

Построение векторной диаграммы (рис.2.14) в электромагнитных устройствах обычно начинают с потока , т.к. он является общим для всех элементов. От вектора потока под углом откладываем ЭДС и в противофазе ей - напряжение .

Далее откладываем ток под углом a к вектору потока . Угол a называется углом потерь и определяется шириной петли гистерезиса, т.е. коэрцитивной силой.

Из конца вектора проводим вектор параллельно току и под углом в сторону опережения из конца вектора строим вектор . Соединив начало вектора с концом вектора , получим вектор напряжения сети .

Порядок построения векторной диаграммы можно записать в виде

.

При анализе процессов в катушке со стальным сердечником возможны два подхода.

1. Разложим вектор напряжения на активную и реактивную составляющие. Для этого спроецируем вектор на вектор тока (рис.2.15). Активная составляющая совпадает по фазе с током , а реактивная - опережает ток по фазе на угол 90^°.

Аналитически величины и можно записать в виде:

Реактивную мощность называют намагничивающей мощностью.

Таким образом, если в уравнении (2.7), записанном для действующих значений, напряжение представить в виде суммы двух составляющих получим последовательную схему замещения дросселя (рис.2.16).

2. Разложим вектор тока на активную и реактивную составляющие. Для этого спроецируем вектор тока на напряжение (рис.2.17). На векторной диаграмме составляющая находиться в фазе с вектором , - отстает по фазе от вектора на угол 90^° и совпадает по фазе с вектором . Составляющая носит название тока намагничивания.

Аналитически эти величины можно записать в виде

где и - соответственно активная и реактивная проводимости.

В результате такого подхода получаем схему замещения дросселя с параллельным соединением активной и реактивной проводимостей (рис.2.18).

Активная мощность P, потребляемая дросселем, слагается из потерь в обмотке (потери в меди) , обусловленных наличием сопротивления провода r, и потерь в сердечнике (потери в стали) , обусловленных явлениями гистерезиса и вихревыми токами

.

Каждый из элементов, входящих в схему замещения, отображает определенные физические процессы, протекающие в реальной катушке с ферромагнитным сердечником при протекании по ней переменного тока:

- активное сопротивление, учитывающее потери активной мощности в сопротивлении проводов обмотки (потери в меди);

- реактивное сопротивление, учитывающее реактивную мощность, идущую на создание магнитного потока рассеяния ;

- активное сопротивление (активная проводимость), учитывающее потери активной мощности в сердечнике на вихревые токи и гистерезис (потери в стали);

- реактивное сопротивление (реактивная проводимость) учитывающее реактивную мощность, идущую на создание основного магнитного потока .

2.4. КОМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА МАГНИТНЫХ ЦЕПЕЙ ПРИ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ПОТОКАХ

Магнитные цепи электрических аппаратов, работающих на синусоидальном токе, можно рассчитывать символическим методом с использованием комплексных чисел.

Пусть по катушке протекает синусоидальный ток

.

Тогда на основании закона полного тока имеем:

,

т.е.

,

где w – число витков катушки;

l – длина средней магнитной силовой линии;

δ – угол потерь (угол магнитного запаздывания).

Сравнивая начальные фазы тока и напряженности , видим, что они совпадают по фазе.

При включении катушки с активным сопротивлением r в цепь синусоидального тока, по ней протекает ток, который создает падение напряжения . Напряжение цепи, за вычетом этого падения напряжения, будет

Это напряжение есть доля напряжения сети, уравновешивающая ЭДС самоиндукции катушки .

Если сердечник работает в ненасыщенном режиме, т.е. в линейной части основной кривой намагничивания, то синусоидальному току (напряженности) соответствует синусоидальный магнитный поток

.

Основной магнитный поток является общим для всей установки и на векторных диаграммах он принимается исходным и совпадающим с вещественной осью комплексной плоскости. Поэтому для упрощения анализа электромагнитных устройств начальную фазу магнитного потока рекомендуется принимать равной нулю.

ЭДС самоиндукции, наводимая в катушке:

где - максимальное значение ЭДС.

Напряжение на обмотке уравновешивает эту ЭДС, т.е.

.

Обратим внимание, что ЭДС и напряжение сдвинуты по фазе на 180˚, т.е. находятся в противофазе.

При синусоидальном потоке магнитная индукция также изменяется по синусоидальному закону

.

Таким образом, индукция и напряженность магнитного поля изменяются по синусоидальному закону, следовательно, их можно изобразить комплексными числами

и .

Тогда и магнитную проницаемость можно представить комплексным числом

. (2.10)

Угол магнитного запаздывания α определяется шириной петли гистерезиса и указывает на то, что магнитный поток отстает от тока намагничивающей обмотки на угол α.

Если рассмотреть катушку на тороидальном сердечнике в цепи синусоидального тока, работающую на линейном участке кривой намагничивания, и не учитывать магнитный поток рассеяния, то комплексное магнитное сопротивление можно записать в виде:

, (2.11)

где l – длина средней магнитной силовой линии;

S – площадь поперечного сечения сердечника;

– комплексное удельное магнитное сопротивление.

Комплексное магнитное сопротивление (2.11) представим в алгебраической форме:

, (2.12)

где – активная составляющая комплекса магнитного сопротивления;

– реактивная составляющая комплекса магнитного сопротивления.

Здесь и – соответственно активная и реактивная составляющие комплекса удельного магнитного сопротивления.

Комплексная удельная магнитная проводимость (проницаемость) представлена выражением (2.10). Тогда удельное магнитное сопротивление можно записать в виде:

.

Таким образом, имея экспериментальные данные режима холостого хода, т.е. имея потери в стали и определив поток Ф, можно определить реактивную составляющую комплекса удельного магнитного сопротивления для каждой марки стали, работающей в соответствующем режиме кривой намагничивания .

Зная комплекс магнитного сопротивления и реактивную составляющую , можно определить активное магнитное сопротивление

.

Таким образом, из опытных данных можно определить значения удельных магнитных сопротивлений , и , связь между которыми выражается зависимостью

.

Кривые зависимости удельных магнитных сопротивлений от магнитной индукции для различных сталей сняты экспериментально и приводятся в справочной литературе.

Например, для стали Э12 такие зависимости представлены на рис.2.19.

Р и с. 2.19

Тангенс угла потерь

.

Пример 6.Рассчитать величину тока, необходимого для создания в тороидальном сердечнике индукции Вб/см². Определить потери в стали и величину угла потерь α.

Дано: внутренний диаметр тороида см, ширина пакета см, толщина - см. Марка стали – Э12, число витков катушки , частота питающей сети Гц.

Решение

Примем коэффициент заполнения пакета сталью, учитывающий лаковую изоляцию между листами железа, .

Тогда сечение железа

см².

Амплитудное значение потока

Вб.

По известной индукции по кривой рис.2.19 для данной марки стали:

см/Гн, см/Гн.

Магнитные сопротивления сердечника

Гн^-1;

Гн^-1,

здесь - длина средней магнитной силовой линии.

Комплекс магнитного сопротивления

Гн^-1.

Комплекс тока обмотки найдем с помощью закона Ома для магнитной цепи

.

Следовательно,

Модуль тока намагничивающей обмотки А. Он опережает магнитный поток на угол .

Суммарные потери в стали

Вт.

Если разделить потери в стали на потери на вихревые токи и гистерезис, то можно найти и соответствующие им удельные реактивные магнитные сопротивления

; , где .

Индексы «в» и «г» соответствуют вихревому и гистерезисному значению величин.

Удельное реактивное магнитное сопротивление при различных частотах определяется равенством

,

где - удельное реактивное магнитное сопротивление при частоте Гц.

Суммарные потери в стали на другой частоте равны:

.

Существует связь между комплексным магнитным сопротивлением сердечника и комплексным электрическим сопротивлением обмотки [1], определяемым напряжением противо-ЭДС трансформатора

.

Из режима холостого хода дросселя следует:

.

Мнимая составляющая комплексного сопротивления является результатом учета потерь в стали сердечника.

Из опыта холостого хода дросселя имеем:

или

,

откуда

,

т.е. сопротивление пропорционально потерям в стали .

Вопросы для самопроверки

1. Какие векторные величины характеризуют процессы в магнитных цепях?

2. Какие скалярные величины характеризуют процессы в магнитных цепях?

3. Как определить положительное направление МДС?

4. Как выбирают направление магнитных потоков в ветвях магнитной цепи?

5. Назовите основные законы магнитных цепей?

6. Сформулируйте закон непрерывности магнитного потока и закон полного тока.

7. Сформулируйте законы Кирхгофа и Ома для магнитных цепей.

8. Чем обуславливается нелинейность магнитной цепи?

9. Какие основные понятия связаны с петлей гистерезиса?

10. Для чего в магнитные цепи электрических машин и аппаратов вводятся ферромагнитные сердечники?

11. Что характеризует площадь гистерезисной петли ферромагнитного материала?

12. Какие ферромагнитные материалы и почему используются для изготовления сердечников для машин переменного тока?

13. Проведите аналогию между электрическими и магнитными цепями?

14. В чем заключаются основные допущения, принимаемые при расчете магнитных цепей?

15. Чем отличаются разветвленные магнитные цепи от неразветвленных?

16. Какие два типа задач встречаются при расчете магнитных цепей? Дайте им характеристику.

17. Какие существуют методы расчета магнитных цепей?

18. Какими методами решаются «прямые» задачи?

19. Какими методами решаются «обратные» задачи?

20. Как влияет воздушный зазор на индуктивность нелинейной катушки?

21. Что такое «большой зазор»?

22. Что называется основным магнитным потоком?

23. Что называется магнитным потоком рассеяния?

24. На чем основан метод эквивалентных синусоид?

25. Из каких составляющих складываются общие потери в стали сердечника?

26. Какими способами можно уменьшить потери в стали?

27. Нарисуйте последовательную и параллельную схемы замещения катушки с ферромагнитным сердечником и соответствующие им векторные диаграммы.

28. Как определяются параметры g₀ и b₀ сердечника?

29. Какие физические процессы отражают элементы схемы замещения катушки со стальным сердечником?

30. Как в схеме замещения нелинейной катушки учитывается воздушный зазор в сердечнике?

31. Нарисуйте схему замещения и векторную диаграмму для трансформатора с ферромагнитным сердечником.

32. Объясните понятия комплексной магнитной проницаемости и комплексного магнитного сопротивления.

ДЛИННЫЕ ЛИНИИ

3.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Часто при исследовании электрических цепей можно пренебречь их геометрическими размерами, а также размерами входящих в них элементов, т.е. считать, что электрические и магнитные поля сосредоточены соответственно в пределах конденсатора и катушки индуктивности, а потери мощности – в резисторе. Такие цепи называются цепями с сосредоточенными параметрами.

Однако на практике приходится иметь дело и с такими цепями, где электромагнитное поле и потери равномерно или неравномерно распределены вдоль всей цепи. В результате для одного и того же момента времени напряжения и токи на различных участках даже неразветвленной цепи отличаются друг от друга, т.е. являются функциями двух независимых переменных: времени t и пространственной координаты x. Такие цепи называются цепями с распределенными параметрами или длинными линиями [1,2].

Примерами линий с распределенными параметрами являются линии электропередачи, линии связи, высокочастотные кабельные линии радиотехнических и телевизионных устройств и т.д.

Обмотки трансформаторов и электрических машин также можно рассматривать как цепи с распределенными параметрами при воздействии на них импульсных токов и напряжений, когда промежуток времени изменения токов и напряжений сравним со временем перемещения электромагнитных волн вдоль провода обмотки.

В длинных линиях электрические активные сопротивления, проводимости, индуктивности и электрические емкости распределены вдоль цепи. Если это распределение носит равномерный характер (например, линии электропередачи), то длинную линию называют однородной. Линию с неравномерным распределением параметров часто можно разбить на однородные участки.

3.2. УРАВНЕНИЯ ОДНОРОДНОЙ ДЛИННОЙ ЛИНИИ

К первичным параметрам однородной длинной линии относятся:

- активное сопротивление на единицу длины, Ом/км;

- индуктивность на единицу длины, Гн/км;

- проводимость изоляции между проводами на единицу длины, См/км;

- емкость на единицу длины, Ф/км.

Разобьем однородную линию с распределенными параметрами на отдельные участки длиной dx (рис.3.1.), где х – расстояние от начала линии.

Обозначим ток в начале рассматриваемого участка dx через i и напряжение между проводами линии в начале участка dx через u.

Тогда в конце участка будет соответственно и .

Р и с. 3.1

Разность напряжений в начале и конце участка определяется падением напряжения на резистивном и индуктивном элементах, а изменение тока на участке равно сумме токов утечки и смещения через проводимость и емкость.

Таким образом, по законам Кирхгофа

После сокращения обеих частей уравнений на dx получим уравнения однородной длинной линии:

(3.1)

(3.2)

Токи и напряжения в цепях с распределенными параметрами являются функциями двух независимых переменных – времени t и координаты x. Соответственно, процессы в этих цепях описываются дифференциальными уравнениями в частных производных.

3.3. ОДНОРОДНАЯ ДЛИННАЯ ЛИНИЯ В УСТАНОВИВШЕМСЯ СИНУСОИДАЛЬНОМ РЕЖИМЕ

Пусть напряжение u и ток i в длинной линии изменяются во времени по синусоидальному закону с угловой частотой ω.

Пользуясь комплексным методом, напишем уравнения линии для комплексов действующих значений напряжения и тока.

Вводя комплексные величины и и заменяя на jω, на основании (3.1) и (3.2) получаем

(3.3)

(3.4)

где и - соответственно комплексные сопротивление и проводимость на единицу длины линии.

Комплексы и являются функциями только координаты x, и, соответственно, уравнения в частных производных для мгновенных значений перешли в обыкновенные дифференциальные уравнения для комплексов.

Продифференцировав (3.3) по х и подставив в него выражение (3.4), получим

.

Характеристическое уравнение

,

откуда корни

.

Таким образом,

(3.5)

где - коэффициент (постоянная) распространения линии.

Для комплекса тока согласно уравнению (3.3) можно записать

, (3.6)

где - волновое сопротивление линии.

Волновое сопротивление и коэффициент распространения относятся к вторичным параметрам длинной линии, связаны с ее первичными параметрами соотношениями

;

и являются основными характеристиками однородной линии как устройства для передачи энергии или информации

Комплексные постоянные интегрирования и , входящие в выражения (3.5) и (3.6), находятся на основании граничных условий: значений напряжения и тока в начале или в конце линии. Обычно в практических задачах бывают заданы напряжение и ток в конце линии.

Пример 1. Определим первичные параметры длинной линии на частоте 100 Гц, если известны ее волновое сопротивление Ом и коэффициент распространения км^-1.

Решение

Составим произведение

.

Следовательно,

,

откуда

R₀ = 99 Ом/км, L₀ = 13,9/(2π∙100) = 0,0222 Гн/км.

Составим отношение

Следовательно,

,

откуда

G₀ = 0,0557∙10^-3 См/км,

C₀ = 0,396∙10^-3/(2π∙100) = 0,631∙10^-8 Ф/км.

3.4. ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ВОЛНЫ В ДЛИННЫХ ЛИНИЯХ

Волновое сопротивление длинной линии является комплексной величиной и, следовательно, может быть представлено в показательной форме:

, (3.7)

где – модуль волнового сопротивления;

φ_В – аргумент волнового сопротивления.

Коэффициент распространения также является комплексным числом и может быть представлен в алгебраической форме:

, (3.8)

где α – коэффициент затухания; β – коэффициент фазы.

Коэффициент характеризует затухание, а коэффициент - изменение фазы перемещающейся вдоль линии электромагнитной волны на единицу длины линии.

Таким образом, с учетом (3.8) выражение (3.5) для комплекса напряжения можно записать в виде

. (3.9)

Выражение (3.6) для комплекса тока с учетом (3.8) примет вид

. (3.10)

Представим комплексные постоянные интегрирования в виде и .

Тогда на основании (3.9) можно записать

. (3.11)

Аналогично на основании (3.10) с учетом (3.7) можно записать

. (3.12)

Переходя в уравнениях (3.11) и (3.12) от комплексов напряжения и тока к их мгновенным значениям, соответственно получим:

Слагаемые в правых частях полученных соотношений можно трактовать как бегущие волны: первая движется и затухает в направлении возрастания координаты х, вторая – убывания. Действительно, в фиксированный момент времени каждое из слагаемых представляет собой затухающую (вследствие потерь энергии) гармоническую функцию координаты х, а в фиксированной точке – синусоидальную функцию времени t.

Волну, движущую от начала линии в сторону возрастания х, называют прямой, а волну, движущуюся от конца линии в направлении убывания х – обратной.

Перемещение волны характеризуется фазовой скоростью . Это есть скорость перемещения по линии неизменного фазового состояния, т.е. скорость, с которой нужно перемещаться вдоль линии, чтобы наблюдать одну и ту же фазу волны:

. (3.13)

Продифференцировав выражение (3.13) по времени, получаем

.

Длиной волны называется расстояние, на которое распространяется волна за один период колебания Т :

.

Следовательно, коэффициент фазы определяет основные параметры бегущих вдоль длинной линии волн: длину волны и фазовую скорость. Затухание электромагнитной волны по мере продвижения вдоль линии объясняется наличием потерь и характеризуется коэффициентом затухания α.

Таким образом, напряжение и ток в линии можно представить как результат наложения двух волн - прямой , и обратной , , - перемещающихся вдоль линии с одинаковой фазовой скоростью, но в противоположных направлениях.

Для напряжения имеем

,

где и .

Представление напряжения в виде суммы прямой и обратной волн означает, что положительные направления напряжения для обеих волн выбраны одинаково: от верхнего провода к нижнему.

Аналогично для тока можно записать

,

где и .

Представление тока в виде разности прямой и обратной волн означает, что положительные направления прямой и обратной волн тока различны: положительное направление прямой волны выбрано от начала к концу линии, а положительное направление обратной волны ему противоположно.

3.5. ЛИНИЯ БЕЗ ИСКАЖЕНИЙ

Волновое сопротивление линии и коэффициент распространения в общем случае зависят от частоты, поэтому условия прохождения волны тока и напряжения вдоль линии для разных частот оказываются различными.

Если сигнал на входе является периодической несинусоидальной функцией времени, то на выходе линии форма кривой сигнала будет отличаться от его формы на входе, так как различные гармоники оказываются в различных условиях. Это также будет иметь место при апериодическом сигнале, так как такой сигнал можно представить в виде частотного спектра, и для различных частот этого спектра условия прохождения вдоль линии будут различными.

Линией без искажений называется длинная линия, вдоль которой волны всех частот распространяются с одинаковой фазовой скоростью и затухают в равной степени. При движении электромагнитной волны вдоль такой линии напряжения и токи уменьшаются по величине, но их форма при этом не меняется. Неискажающие линии применяются в телефонии и других линиях связи.

Для того чтобы линия была неискажающей, коэффициент затухания и фазовая скорость не должны зависеть от частоты. Это имеет место при выполнении соотношения:

Действительно, при этом

Таким образом, для линии без искажений получаем:

Можно сказать, что в этих условиях коэффициент затухания и коэффициент фазы имеют минимальные значения и, соответственно, фазовая скорость принимает максимальное значение и равна скорости распространения электромагнитных волн в диэлектрике, окружающем провода линии.

Волновое сопротивление линии без искажений

является действительным числом и также не зависит от частоты.

При выполнении указанных условий мы получаем передачу сигнала вдоль линии без искажений, но сигнал затухает по мере продвижения, так как коэффициент α > 0.

В предельном случае, когда R₀ = 0 и G₀ = 0 получаем неискажающую линию без потерь, по которой сигнал передается не только без искажения, но и без затухания.

Следует отметить, что у реальных линий (и воздушных, и кабельных) . Поэтому для придания реальным линиям свойств линий без искажения искусственно увеличивают их индуктивность путем включения через одинаковые интервалы специальных катушек индуктивности, а в случае кабельных линий – также за счет обвивания их жил ферромагнитной лентой.

Пример 2. Найдем фазовую скорость для воздушной двухпроводной линии передачи с малыми потерями.

Решение

Индуктивность единицы длины воздушной двухпроводной линии [2]

где - магнитная постоянная;

d - расстояние между осями проводов;

r - радиус каждого провода.

Емкость единицы длины воздушной двухпроводной линии [2]

где - электрическая постоянная.

Фазовая скорость

(км/с).

Пример 3. Найдем длину электромагнитной волны промышленной частоты для воздушной линии передачи:

(км).

Пример 4. Какую дополнительную индуктивность нужно включить на каждом километре телефонной линии с параметрами: = 3 Ом/км; = 2∙10^-3 Гн/км; = 10^-6 См/км; = 6∙10^-9 Ф/км, чтобы линия стала неискажающей?

Решение

Чтобы линия стала неискажающей, ее параметры должны удовлетворять соотношению

.

Следовательно,

Гн/км;

Гн/км.

3.6. УРАВНЕНИЯ ДЛИННОЙ ЛИНИИ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ

Пусть для линии длиной l заданы напряжение и ток в конце линии, т.е. при x = l.

Тогда из уравнений (3.5) и (3.6) получаем

;

.

Найдем комплексные постоянные интегрирования и . Для этого введем обозначения:

; .

Тогда

;

,

откуда получаем

;

.

Соответственно постоянные интегрирования

;

.

После подстановки найденных выражений и в выражения (3.5) и (3.6) получаем уравнения, позволяющие определить напряжение и ток в любой точке линии по их известным значениям и в конце линии

;

.

 <