Уравнения состояния и выхода соединений

Как следует из разд. 1.2.1, многомерная система, описываемая уравнения­ми состояния и выхода, полностью характеризуется набором трех матриц: , , . Здесь и далее аргумент для сокращения записи опущен. Две многомерные системы могут образовывать три типа соединений: параллельное, последователь­ное и с обратной связью, изображенные на рис. 1.17,а — в.

Предполагается, что обе системы, образующие соединения, описываются в пространстве состояний соотношениями:

, , (1.38)

, , (1.39)

где , , — векторы состояния, входного сигнала и выхода первой системы размерности , , соответственно; , , — векторы состояния, входного сигнала и выхода второй системы, размерности которых , , соответ­ственно.

Рис. 1.17

Требуется заменить соединение эквивалентной системой, описываемой уравнениями (1.35), (1.37) и изображенной на рис. 1.17, г, в которой , , —размерности векторов состояния , входного сигнала и выхода .

1. Параллельное соединение (рис. 1.17, а). Условия соединения:

, , , .

Перепишем соотношения (1.38), (1.39) с учетом того, что :

, (1.40)

Полагая , и сравнивая с (1.35), (1.37), получаем матрицы

, ,

эквивалентной системы размера , , соответственно.

Пример 1.18. Системы, образующие параллельное соединение, описывают­ся уравнениями:

первая система:

, ,

где , , ;

вторая система:

, ,

где , , , , , .

Требуется записать уравнение эквивалентной системы.

□ Условия соединения , выполняются. Согласно (1.40) эквивалентная система имеет вид

, ,

где , , .

2. Последовательное соединение (рис. 1.17,б). Условие соединения , . В первом соотношении (1.39) учтем, что , а из сравнения рис. 1.17,б и 1.17,г, получаем: , , , . Эквивалентная сис­тема имеет вид

, (1.41)

Полагая матрицы , и сравнивая с (1.35), (1.37), получаем

, ,

эквивалентной системы размера , , соответственно.

Пример 1.19. Системы, образующие последовательное соединение, описы­ваются уравнениями: первая система:

, ,

где , , , , , ;

вторая система:

, ,

где , , .

Требуется записать уравнения эквивалентной системы.

□ Условие соединения выполняется. Согласно (1.41) эквива­лентная система имеет вид

, ,

где , , , .

3. Соединение с обратной связью (рис. 1.17, в). Условия соединения: , , , . В первом соотношении (1.38) положим , а в первом уравнении (1.39) . Сравнивая рис. 1.17, в и 1.17, г, получаем . Эквивалентная система имеет вид

, . (1.42)

Полагая , и сравнивая с (1.35), (1.37), получаем матрицы

, ,

эквивалентной системы размера , , соответственно. Знак «плюс» — для положительной, а знак «минус» — для отри­цательной обратной связи.

Пример 1.20. Системы, образующие соединение с отрицательной обратной связью, описываются уравнениями первая система

, ,

где , , ;

вторая система:

, ,

где , , .

Требуется записать уравнения жвивалентной системы.

□ Условия соединения , выполняются. Согласно (1.42) эквивалентная система имеет вид

, ,

где , , .