Агрегатные состояния

Состояние данной массы газа определяется тремя величинами (параметрами): давлением p, объемом V и температурой T. Эти величины связаны между собой функциональной зависимостью, которая может быть представлена соотношением f (p, V, T) = 0, называемым уравнением состояния. Уравнение состояния идеального газа выводится из трех законов – Бойля – Мариотта, Гей-Люссака и Авогадро. Реальные газы подчиняются этим законам тем точнее, чем меньше давление и выше температура [1].

Закон Бойля – Мариотта. При постоянной температуре объем данной массы обратно пропорционален давлению. Если V₁ и V₂ – объемы газа при давлении p₁ и p₂ соответственно, то

, или (1.1)

Из закона Бойля – Мариотта вытекает следствие: при постоянной температуре плотность газа ρ пропорционально его давлению:

(1.1a)

Законы Гей-Люссака и Шарля. При постоянном давлении с повышением температуры на 1°С объем данной массы газа увеличивается на 1/273,15 его объема при 0°С:

(1.2)

где V – объем газа при температуре t °С, а V₀ – объем газа при 0°С.

При замене шкалы Цельсия абсолютной температурной шкалой (шкалой Кельвина), для которой T=273,15+t, этот закон можно сформулировать следующим образом: при постоянном давлении объем данной массы газа пропорционален его абсолютной температуре:

(1.3)

где V₁ и V₂ – объемы газа при абсолютных температурах T₁ и T₂

При постоянном объеме зависимость давления данной массы газа от температуры записывается уравнениями, аналогичными (1.2) и (1.3):

(1.4)

(1.5)

Объединенный закон Бойля – Мариотта – Гей-Люссака выражается уравнением:

(1.6)

где p₁ – давление и V₁ – объем данной массы газа при абсолютной температуре T₁, p₂- давление и V₂ – объем той же массы газа при абсолютной температуре T₂.

Закон Авогадро: в равных объемах различных газов при одинаковых условиях содержится равное число молекул.

Число молекул (N_A) в 1 моль вещества одинаково у всех веществ и равно 6,02·10²³ (число Авогадро). Следовательно, количества веществ 1 моль, находящихся в газообразном состоянии при одинаковой температуре и одинаковом давлении, занимают равные объемы. При нормальных условиях (температура 0°С и давление = 1,01325·10⁵ Па) объем 1 моль газа равен 22,414л.

Уравнение состояния идеального газа – уравнение Менделеева – Клайперона для одного моля газа имеет вид:

(1.7)

а для любого количества газообразного вещества:

(1.8)

где R – универсальная газовая постоянная, числовое значение которой зависит от единиц измерения других величин. Величина ее выражается в единицах СИ Дж/(моль·К).

Уравнение (1.8) может быть использовано для определения относительной молекулярной массы М_ч. Заменяя в нем величину n отношением m/M, где m – масса газа, а M – молярная масса данного газа, и решая его относительно M, получим:

(1.9)

Закон Дальтона: общее давление смеси газов равно сумме парциальных давлений составных частей (компонентов):

(1.10)

где p_об – общее давление смеси газов, p₁, p₂, p_k – парциальные давления компонентов смеси. Парциальным давлением называется давление каждого компонента, если бы он один занимал объем, равный объему смеси той же температуре.

Уравнения (1.8) и (1.9) применимы к смесям газов, химически не взаимодействующих друг с другом, а также к каждому компоненту смеси. В первом случае n – общее количество вещества компонентов (n=n₁+n₂+…+n_k=∑n_i, где i=1, 2, …, k), M – средняя «смешанная» молярная масса, во втором случае n – количество вещества каждого компонента, т.е. n₁, n₂, …, n_k, p – парциальное давление компонента, V – общий объем смеси.

Зависимость между парциальными давлениями и общим выражается уравнениями:

, , …, (1.11а)

Отношения n₁/∑n_i, n₂/∑n_i, …, n_k/∑n_i, называют молярными долями данного компонента. Если молярную долю обозначить через x, то парциальное давление любого i-го компонента смеси (где i = 1, 2, …, k) будет равно:

(1.11б)

Таким образом, парциальное давление каждого компонента равно произведению его молярной доли на общее давление смеси.

Для идеальных газов молярная доля x равна объемной доле φ (V₁/∑υ_i, V₂/∑υ_i, …, V_k/∑υ_i). Если состав смеси выражен в объемных долях (%), то φ^'

φ₁'/100 = x₁, φ₂'/100 = x₂, …, φ_k'/100 = x_k, (1.12)

Кинетическая теория газов. Основным уравнением кинетической теории газов для 1 моль является уравнение:

, (1.13)

где m_a – масса молекулы; ū – средняя квадратичная скорость молекул; N_A – число молекул в 1 моль. Для любого количества вещества в уравнении вместо N_A входит N.

Из основного уравнения кинетической теории газов можно вывести изложенные выше газовые законы и некоторые новые положения.

Сопоставляя уравнения (1.7) и (1.13) получим для 1 моль газа:

, (1.14)

1. Отсюда находим среднюю квадратичную скорость молекул:

(1.15)

где M = N_A·m_a – молярная масса газа.

Из этого уравнения следует, что для одного и того же газа средняя квадратичная скорость молекул прямо пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры:

(1.16)

где ū₁ – средняя квадратичная скорость при температуре T₁, а ū₂ –то же самое при T₂.

Для различных газов при одинаковой температуре средняя квадратичная скорость молекул обратно пропорциональна корню квадратному из относительных молекулярных масс:

(1.17)

Здесь ū₁ и относятся к первому газу, а ū₂ и - ко второму.

2. Из уравнения (1.14) находим:

(1.18)

Выражение, стоящее в левой части этого равенства, есть средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул идеального газа в количестве вещества 1 моль. Обозначив ее через Е, получим:

(1.19)

Разделив обе части уравнения (1.18) на N_A, найдем, что средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы газа равна:

(1.20)

где , а - константа, называемая постоянной Больцмана.

Следовательно, кинетическая энергия идеального газа пропорциональна абсолютной температуре.

Примеры

1.В баллоне емкостью 20 л находится водород под давлением 162·10⁵ Па. Сколько шаров-пилотов можно наполнить водородом, если объем шара равен 200 л и давление в нем должно быть равно 2·10⁵ Па? Водород при этих условиях считать идеальным газом.

Решение. Так как температура и масса газа остаются постоянными, то для решения задачи применим закон Бойля – Мариотта (1.1). После наполнения шаров-пилотов объем водорода (V₂) буде равен:

где V₃ – объем одного шара; n – число шаров; V₁ – объем баллона, в котором водород после наполнения последнего шара находится под давлением 2·10⁵ Па. Заменив в уравнении (1.1) V₂ его значением, получим:

Отсюда

Находим, что водородом можно наполнить восемь шаров-пилотов.

2.При нормальных условиях плотность азота равна 1,25 г/л. Определить плотность газа при 0°С и давлении 5,065·10⁵ Па.

Решение. Требуется определить плотность азота при 0°С и давлении 5,065·10⁵ Па. Из уравнения (I, 1а) находим ρ₂ – плотность при давлении p₂:

;

3. При постоянном давлении открытая двухлитровая колба охлаждается от 200 до 0°С. Насколько увеличится масса воздуха в колбе, если плотность воздуха при нормальных условиях равна 1,293 г/л? Изменением объема колбы вследствие охлаждения стекла пренебречь.

Решение. Объем одного и того же количества газа согласно закону Гей-Люссака при 0°С должен быть меньше, чем при 200°С. Если при t₂ = 0°С его объем V₂ = 2 л, то при t₁ = 200°Сон может быть определен из уравнения (1.3):

;

При 0°С масса газа в двухлитровой колбе равна 1,293x2=2,586 (г). При 200°С такую же массу будет иметь 3,465 л. Таким образом, если температура понизится с 200°С до 0°С, то в колбу войдет 3,465-2=1,465 (л) воздуха; соответствующая масса может быть определена из пропорции:

;

Следовательно, масса газа в колбе увеличится на 1,093 г.

4.Смесь эквивалентных количеств этана и кислорода находится в замкнутом сосуде при температуре 15°С и давлении 1·10⁵ Па. Каково будет давление после взрыва смеси и приведения содержимого сосуда к первоначальной температуре?

Решение. Напишем уравнение реакции горения этана:

2С₂Н₆ + 7О₂ = 4СО₂ + 6Н₂О

Вода при температуре 15°С будет в жидком состоянии, и при подсчета числа молекул не нужно учитывать образовавшихся молекул воды (так как объем жидкости по сравнению с объемом газа той же массы несоизмеримо мал). Из уравнения следует, что из 9 молекул исходных веществ образовалось 4 молекулы. Так как объем газов и температура остаются постоянными, то с уменьшением числа молекул в 9/4 раза и давление должно уменьшиться в такое же число раз, т.е. оно будет равно: 1·10⁵:9/4=0,4·10⁵ Па.

5.Для хлорирования питьевой воды хлор доставляется в баллонах под давлением. Давление в этих баллонах равно ,722·10⁵ Па при 0°С и 15,47·10⁵ Па при 30°С. Можно ли считать хлор в этих условиях идеальным газом?

Решение. Так как в баллоне объем постоянен, то для идеального газа, как следует из уравнения (I, 5), - величина постоянная. Вычисляем это отношение для хлора: при 0°С , а при 30°С . Оно непостоянно. Следовательно, хлор в этих условиях считать идеальным газом нельзя.

6. При температуре 18°С и давлении 98,64 кПа объем газа равен 2 л. Привести объем газа к равным нормальным условиям.

Решение. Из уравнения (1.6) находим V₁ – объем при нормальном давлении 1,013·10⁵ Па и температуре 273 К. Данные задачи переводим в единицы СИ:

;

7. Вычислить при нормальных условиях газовую постоянную R, выразив ее в: а) Па·м³/(моль·К); б) Дж/(моль·К).

Решение. Из уравнения (1.7) находим: . Подставляем в эту формулу числовые значения: p=1.01325·10⁵Па, Т-273,15 К и V_m=2,2414·10^-2 м³ (молярный объем газа):

а) ;

б) 8,314 Па·м³/(моль·К) = 8,314 Н/м² · м³/(моль·К) = 8,314 Дж/(моль·К).

8. Какое количество вещества и какая масса кислорода находится в газометре емкостью 10 л при 20°С и под давлением 100 кПа?

Решение. Решаем уравнение (1.8) относительно n: . Данные задач подставляем в уравнение в единицах СИ: R=8,314 Дж/(моль·К), p=1·10⁵ Па, Т=273+20=293 К, V=0,01 м³:

m = nM ; m = 0,41 · 32 = 13,12 (г)

9. По методу В. Майера определялась относительная молекулярная масса этилового эфира. При испарении эфира массой 0,0856 г его пары вытеснили в эвдиометрическую трубку воздух объемом 29,2 мл; высота водяного столба в эвдиометрической трубке 22,5 см, температура воздуха 17°С, атмосферное давление 1005 гПа. Давление насыщенного пара воды при 17°С равно 19,37гПа. Вычислить относительную молекулярную массу эфира и найти относительную ошибку опыта в процентах.

Решение. Давление сухого воздуха, заключенного в эвдиометрической трубке, будет равно:

где 1 – значение плотности воды и 13,6 – значение плотности ртути. Подставляем в уравнение (I, 9) соответствующие значения, выразив их в единицах СИ, получаем:

;

Таким образом, относительная молекулярная масса эфира равна 72,94. Относительная ошибка в процентах равна:

(74,08-72,94)·100:74,08-1,54 %

где 74,08 – табличная величина относительной молекулярной массы эфира.

10. Смешаны водород объемом 3 л и под давлением 2·10⁵ Па с кислородом объемом 2 л под давлением 1·10⁵ Па. Общий объем смеси равен 4 л. Определить парциальные давления газов и общее давление смеси.

Решение. Водород, занимавший объем V₁, равный 3 л, при давлении p₁ равном 2·10⁵ Па, после смешивания с кислородом распространится в объеме V₂, равном 4 л. Парциальное давление водорода , равное p₂, находим из закона Бойля – Мариотта (1.1):

; .

Парциальное давление кислорода находим аналогичным способом:

Общее давление p смеси равно: 1,5·10⁵ + 0,5·10⁵ = 2·10⁵ (Па).

11. Смесь из 2 моль азота, 3 моль кислорода и некоторого количества вещества аммиака при 20°С и давлении 4·10⁵ Па занимает объем 40 дм³. Вычислить количество аммиака в смеси и парциальное давление каждого из газов.

Решение. Из уравнения (1.8) находим n – общее количество всех газообразных веществ, составляющих смесь, и подставляем R, равное 8,314 Дж/(моль·К), p = 4·10⁵ Па, V = 4·10^-2 м³, T =273+20 = 293 К :

;

Количество вещества аммиака

n (NH₃) = 6,57 – 2 – 3 = 1,57 (моль)

Парциальное давление газов вычисляем по уравнению (1.11а):

p (N₂) = 4·10⁵ · 2 : 6,57 = 1,217·10⁵ (Па);

p (O₂) = 4·10⁵ · 3 : 6,57 =1,826·10⁵ (Па);

p (NH₃) = 4 · 10⁵ · 1,57 : 6,57 =0,956·10⁵ (Па).

12. 0,5 моль водорода и 0,25 моль азота находятся в газометре вместимостью 5 л при 10°С. Вычислить парциальное давление каждого из газов и состав смеси в объемных долях.

Решение. Парциальное давление каждого компонента находим из уравнения (1.8):

;

По формуле (1.12) вычисляем содержание водорода и азота в объемных долях:

;

13. Какое давление будет иметь при 0°С кислород объемом 10 л и количеством вещества 0,25 моль? Средняя квадратичная скорость молекул кислорода при этой температуре равна 461 м/с.

Решение. Из формулы (1.13) находим давление, подставляя значения в единицах СИ: 10 л равны 0,01 м³, масса газа (N·m_a) равна произведению молярной массы на количество вещества, т.е. 0,032 кг/моль · 0,25 моль = 0,008 кг:

;

14. При какой температуре средняя квадратичная скорость молекул хлора будет равна 500 м/с?

Решение. Из формулы (1.14) находим T:

Подставляем значения, выражая их в СИ: ū в м/с, М в кг/моль, а R в Дж/(моль·К), и получаем:

Следовательно, температура t будет равна:

711,7 – 273 = 483,7 (°С)