Анализ выходных процессов
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть известны:
а) входной сигнал (см. разд. 1.2.1);
б) система, описываемая уравнениями состояния и выхода
, ,
;
в) вектор начальных состояний (см. разд. 1.2.1).
Требуется найти законы изменения вектора состояния и вектора выхода .
З а м е ч а н и е. Если система образована соединениями подсистем, то она заменяется эквивалентной системой так, как показано в разд. 1.2.2.
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
1. Найти переходную матрицу (одним из трех способов, рассмотренных далее).
2. Используя соотношения (1.44), (1.45) или (1.51), (1.52) в зависимости от типа системы, определить законы изменения векторов состояния и выхода.
Рассмотрим различные способы нахождения переходной матрицы.
Первый способ. Если фундоменальная матрица , столбцы которой образуют фундаментальную систему решений однородной системы дифференциальных ураннений (1.43), известна, то переходная матрица находится по формуле
, (1.53)
З а м е ч а н и е. Общее решение однородной системы (1.43) можно записать в виде
, (1.54)
где — произвольные постоянные
Для стационарных систем следует выполнить действия:
1. Найти корни характеристического уравнения
, (1.55)
где — единичная матрица.
2. Выписать выражение общего решения (1.54) для каждой компоненты вектора х, следуя известным правилам в зависимости от типа корней (см. разд. 1.1.4). При этом произвольные постоянные в выражениях различны.
3. Полученные выражения подставить в однородную систему. Во многих случаях достаточно подставить в первые уравнений системы, что облегчает решение задачи.
4. Приравнять коэффициенты при одинаковых функциях аргумента t и решить полученную систему уравнений.
5. Выписать общее решение, зависящее от n произвольных постоянных в форме (1.54). В результате находится фундаментальная матрица, а по формуле (1.53) — переходная.
Пример 1.21. Найти переходную матрицу системы, описываемой дифференциальными уравнениями
,
.
□ Составим матрицу системы . Используем приведенный выше
алгоритм.
1. Корни характеристического уравнения , действительные разные: , .
2. Запишем выражения общего решения для каждой компоненты:
,
.
3. Подставим полученные соотношения в первое уравнение системы:
.
4. Приравняв коэффициенты при и , получим
, или ,
, .
5. Из пп. 2, 4 имеем
.
Отсюда
,
и по формуле (1.53)
.
Пример 1.22. Найти переходную матрицу системы, описываемой дифференциальными уравнениями
,
.
□ Составим матрицу системы . Используем приведенный выше алгоритм.
1. Корень характеристического уравнения , действительный кратный: , .
2. Выражения общего решения для каждой компоненты имеют вид
,
.
3. Подставим полученные соотношения в первое уравнение системы:
.
4. Приравняв коэффициенты при и , получим
,
.
5. Из пп. 2, 4 имеем
.
Отсюда находится фундаментальная матрица
,
и по формуле (1.53)
.
В случае нестационарных систем для определения фундаментальной матрицы можно воспользоваться следующим приемом, позволяющим уменьшить порядок системы, если известно ее решение и при .
Тогда вектор-функции , , образующие вместе с функцией фундаментальную систему решений для (1.43), можно найти по формулам
,
…
, , (1.56)
,
где
,
а функции , являются линейно независимыми решениями системы порядка
, . (1.57)
Пример 1.23. Найти переходную матрицу системы, описываемой дифференциальными уравнениями
,
.
□ Для определения переходной матрицы нужно найти два линейно независимых решения заданной системы. Первое решение будем искать с помощью рядов, представляя функции , в виде
, .
Подставив эти функции в систему, предварительно умножив первое уравнение на , а второе — на , имеем
,
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем
, ,
.
Данной системе уравнений удовлетворяют коэффициенты:
, , , ;
, , .
Таким образом, вектор-функция является решением системы.
Обозначим это решение . Так как при всех , можно понизить порядок системы. Согласно (1.56) второе решение ищется в виде
, ,
где , а - решение системы (1.57), которая в данном случае состоит из одного уравнения :
.
Подставляя и , получаем уравнение
,
решение которого находится с помощью разделения переменных, т.е. . В результате . Тогда и, следовательно, , .
По найденным решениям и составляем фундаментальную матрицу
и .
По формуле (1.53) имеем
Второй способ. Применение теоремы разложения Сильвестра [60]. Переходная матрица стационарной системы определяется по формуле
, (1.58)
Где - собственные значения матрицы (здесь предполагается, что они различны), a - единичная матрица.
Пример 1.24. Найти законы изменения векторов состояния и выхода многомерной системы:
,
с начальными условиями , , при входном сигнале
1. Перепишем уравнения системы в матричной форме:
, .
2. Найдем переходную матрицу. Для этого определим собственные значения матрицы . Получим
, .
Отсюда , . По формуле (1.58) имеем
.
3. По формулам (1.51), (1.52) найдем законы изменения векторов состояния и выхода:
,
.
Пример 1.25. Найти законы изменения векторов состояния и выхода многомерной системы:
с начальными условиями , при входном сигнале
, .
1. Перепишем уравнения системы в матричной форме:
, .
2. Найдем переходную матрицу. Для этого определим собственные значения матрицы . Получим
, .
Отсюда , . По формуле (1.58) имеем
,
так как , .
3. Mo формулам (1.51), (1.52) найдем законы изменения векторов состояния и выхода:
,
.
Третий способ. Использование теоремы Кели-Гамильтона [60].
Рассмотрим два случая ее применения.
1. В случае различных собственных значений матрицы :
(1.59)
где — число строк матрицы ; — — я степень матрицы ; коэффициенты многочлена находятся из системы уравнений
, . (1.60)
2. В случае кратных собственных значений матрицы формула (1.59) также справедлива. Корню кратности в системе уравнений (1.60) соответствуют соотношения
, . (1.61)
Пример 1.26. Найти переходную матрицу системы, если матрица в уравнении состояния имеет вид (см. пример 1.24).
□ Собственные значения матрицы : , различны, . Поэтому составим систему уравнений (1.60):
.
Отсюда , . По формуле (1.59) имеем
.
Результат совпадает с полученным ранее.■
Пример 1.27. Найти законы изменения векторов состояния и выхода многомерной системы:
с начальными условиями , при входном сигнале
□ Перепишем уравнения системы в матричной форме:
, ,
где , , .
2. Найдем переходную матрицу. Для этого определим собственные шачения матрицы . Получим
, .
Отсюда (корень действительный кратный). По формуле (1.61) имеем
т.е.
Отсюда , . По формуле (1.59) получаем
.
3. По формулам (1.51), (1.52) найдем законы изменения векторои состоя ния и выхода:
,
.
Дата добавления: 2017-09-01; просмотров: 1479;