Отображения множеств

Если каждому элементу x множества X поставлен в соотвествие ровно один элемент f(x) множества Y, то говорят, что задано отображение f из множества X в множество Y. При этом, если f(x) = y, то элемент y называется образом элемента x при отображении f, а элемент x называется прообразом элемента y при отображении f. Обозначение: f: X  Y.

11. Нарисуйте всевозможные отображения из множества {7,8,9} в множество {0,1}.

Пусть f: X  Y, y  Y, A  X, B  Y. Полным прообразом элемента y при отображении f называется множество {x  X | f(x) = y}. Обозначение: f ^{ 1}(y). Образом множества A  X при отображении fназывается множество {f(x) | x  A}. Обозначение: f(A). Прообразом множества B  Y называется множество {x  X | f(x)  B}. Обозначение: f ^{ 1}(B).

12. Для отображения f: {0,1,3,4}  {2,5,7,18}, заданного картинкой, найдите f({0,3}), f({1,3,4}), f ^{ 1}(2), f ^{ 1}({2,5}), f ^{ 1}({5,18}).

а) б) в)

13. Пусть f: X  Y, A₁, A₂  X, B₁, B₂  Y. Всегда ли верно, что

а) f(X) = Y;

б) f ^{ 1}(Y) = X;

в) f(A₁A₂) = f(A₁)f(A₂);

г) f(A₁A₂) = f(A₁)f(A₂);

д) f ^{ 1}(B₁ B₂) = f ^{ 1}(B₁) f ^{ 1}(B₂);

е) f ^{ 1}(B₁B₂) = f ^{ 1}(B₁)f ^{ 1}(B₂);

ж) если f(A₁)  f(A₂), то A₁  A₂;

з) если f ^{ 1}(B₁)  f ^{ 1}(B₂), то B₁  B₂?

Композицией отображений f: X  Y и g: Y  Z называется отображение, сопоставляющее элементу x множества X элемент g(f(x)) множества Z. Обозначение: gf.

14. Докажите, что для произвольных отображений f: X  Y, g: Y  Z и h: Z  W выполняется следующее: h(gf) = (hg)f.

15. Пусть f: {1,2,3,5}  {0,1,2}, g: {0,1,2}  {3,7,37,137}, h: {3,7,37,137}  {1,2,3,5}– отображения, показанные на рисунке:

f: g: h:

Нарисуйте картинки для следующих отображений:

а) gf; б) hg; в) fhg; г) ghf.

Отображение f: X  Y называется биективным, если для каждого y  Y найдется ровно один x  X такой, что f(x) = y.

16. Пусть f: X  Y, g: Y  Z. Верно ли, что если f и g биективны, то и gf биективно?

17. Пусть f: {1,2,3}  {1,2,3}, g: {1,2,3}  {1,2,3}, – отображения, изображенные на рисунке:

f: g:

Нарисуйте картинки для следующих отображений:

18. Про каждые два из следующих множеств выясните, существует ли биекция из первого во второе (надлежит считать, что ноль – натуральное число):

а) множество натуральных чисел;

б) множество четных натуральных чисел;

в) множество натуральных чисел без числа 3.

Список литературы

P. M. Кроновер. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М., 2000. — 352 с

3. Федер Е. Фракталы. Пер. с англ.-М.: Мир,1991.-254с.

(Jens Feder, Plenum Press, NewYork, 1988)

4. Application of fractals and chaos. 1993, Springer-Verlag, Berlin.