Понятие о методе комплексных амплитуд
Поскольку в реактивных элементах цепи (ёмкости и индуктивности) ток и напряжение связаны интегрально-дифференциальные соотношениями (2.4), (2.5) и (2.10), (2.11), то уравнения электрического равновесия такой будут представлять собой интегрально-дифференциальные уравнения, решение которых во временной области переменной является достаточно трудоемкой задачей.
Однако, поскольку производная и интеграл по времени любого порядка от гармонической функции представляют собой также гармоническую функцию, то при гармоническом воздействии все напряжения и токи цепи, в установившемся режиме будут также гармоническими функциями времени той же частоты, что и частота воздействия. Поэтому всем этим гармоническим функциям будет соответствовать комплексные изображения, аналогичные функции , важным свойством которой является то, что она не изменяет своего вида при многократном дифференцировании и интегрировании по времени. Действительно, производная n-го порядка по времени от функции имеют вид , то есть сводится к умножению исходной функции на столько раз, каков порядок производной. Последовательное n-кратное интегрирование по времени функции преобразует её к виду , то есть сводится к делению исходной функции на столько раз, каков порядок интеграла.
Метод комплексных амплитуд заключается в следующем. В интегрально-дифференциальных уравнениях цепи все вещественных гармонические функций напряжений и токов (оригиналы), заменяют изображениям в виде комплексных показательных функций и выполняют операций дифференцирования и интегрирования. В результате все уравнения будут содержать только слагаемые вида и , в состав которых входит сомножитель . После сокращения этого сомножителя уравнения преобразуются из интегрально-дифференциальных в алгебраические.
Решая полученных алгебраические уравнения при условии постоянства частоты , находят комплексные амплитуды токов и напряжений, зная которые определяют вещественные гармонические функции токов и напряжений путем обратного перехода от изображений к оригиналам.
Достоинством метода комплексных амплитуд является существенное упрощение расчёта цепи, а недостатком — возможность расчета цепи только при гармоническом воздействии и только в установившемся режиме
4.5. Комплексные сопротивление и проводимость цепи при гармоническом
воздействии
Пусть к цепи, составленной из пассивных идеальных элементов и имеющей два вывода, приложено гармоническое напряжение
,
где и — амплитуда и начальная фаза напряжения.
Тогда ток такой цепи будет также гармонической функцией времени той же частоты, что и напряжение
.
где и — амплитуда и начальная фаза тока.
В соответствии с методом комплексных амплитуд, заменим вещественные функции напряжения и тока их изображениями в показательной форме записи:
;
,
где , — комплексные амплитуды напряжения и тока.
Рассмотрим отношение изображений напряжения и тока
. (4.11)
Полученная комплексная функция в виде отношения комплексных амплитуд напряжения и тока называется комплексным сопротивлением цепи. Такое название функции обусловлено тем, что уравнение (4.11) по форме записи аналогично закону Ома (2.1).
Подставляя в (4.11) выражения для комплексных амплитуд напряжения и тока в показательной форме, получаем
. (4.12)
где и — модуль и аргумент комплексного сопротивления.
Из (4.12) следует, что в зависимости от значений начальных фаз напряжением и током аргумент комплексного сопротивления может быть как положительным, так и отрицательным числом.
Поделив числитель и знаменатель правой части уравнения (4.12) на , получим аналогичное выражение для комплексного сопротивления в виде отношения комплексных действующих значений напряжения и тока
. (4.13)
где , — действующие значения гармонических функций напряжения и тока
Примечание. При расчёте электрических цепей комплексные действующие значения напряжения и тока обычно называют просто комплексным напряжением и комплексным током, опуская слово «действующее», что и будет использовано в дальнейшем.
С помощью формулы Эйлера, можно преобразовать показательную форму записи комплексного сопротивления (4.13) в алгебраическую
, (4.14)
где и — вещественная (активная) и мнимая (реактивная) составляющие комплексного сопротивлении; — модуль комплексного сопротивления; — аргумент комплексного сопротивления.
Комплексное сопротивление может быть изображено на комплексной плоскости в виде вектора (рис. 4.7, а), проведённого из начала координат в точку с координатами и . Длина такого вектора будет равна модулю z, а угол наклона вектора к положительной вещественной полуоси — аргументу j комплексного сопротивления.
Величина, обратная комплексному сопротивлению, называется комплексной проводимостью цепи
.
С учётом (4.11) и (4.13) комплексная проводимость может быть определена в виде
. (4.15)
а) б)
Рис. 4.7
Запишем комплексную проводимость в алгебраической и показательной форме
, (4.16)
где и — вещественная (активная) и мнимая (реактивная) составляющие комплексной проводимости соответственно; — модуль комплексной проводимости; — аргумент комплексной проводимости.
Используя понятие комплексного сопротивления цепи можно рассматриваемую цепь изобразить в виде только одного этого сопротивления (рис. 4.7, б). Полученная за счёт такой замены схема называется комплексной схемой замещения цепи. Аналогичную комплексную схему замещения можно получить, используя комплексной проводимости цепи. В обоих случаях токи и напряжения участка цепи будут представлены их комплексными амплитудами или комплексными действующими значениями.
Рассмотрим комплексные сопротивления и проводимости идеализированных элементов электрической цепи.
Дата добавления: 2017-09-01; просмотров: 2683;