Комплексное изображение гармонической функции

Рассмотрим показательную комплексную функцию времени

, (4.6)

у которой модуль и аргумент совпадают с амплитудой и мгновенной фазой гармонической функции (4.4).

Выделив в (4.5) в виде сомножителя оператор вращения , получим

, (4.7)

где

, (4.8)

— величина, называемая комплексной амплитудой, в обозначении которой точка над символом широко используется в технической литературе.

Из (4.8) видно, что комплексная амплитуда не зависит от времени, а её модуль и аргумент равны соответственно амплитуде и начальной фазе гармонической функции (4.4).

Используя формулу Эйлера , запишем функцию (4.6) в тригонометрической форме

, (4.9)

Сравнивая формулы (4.9) и (4.4), видно, что действительная часть (4.9) совпадает с гармонической функцией (4.4). Указанное соответствие записывается в символическом виде следующим образом

где « » — символом соответствия, который не следует путать со знаком равенства «=».

При этом гармоническую функцию (4.4) называют оригиналом, а комплексную функцию (4.6) — изображением.

На комплексной плоскости функция (4.6) изображается в виде вектора длиной , вращающегося с угловой скоростью вокруг начала координат в направлении против часовой стрелки, которое на векторных диаграммах принимают за положительное изменению мгновенной фазы (рис. 4.6). Проекция вектора на вещественную ось совпадает с гармонической функцией (4.4), а начальное положение вектора в момент — с начальной фазой этой функции.