Методические указания по определению ускорения точки при плоскопараллельном движении твердого тела

1. Для определения ускорения точки В нужно в выбранном масштабе можно построить план ускорений, используя формулу сложения векторов.

Для построения плана ускорений выберем точку Pa вне схемы механизма. Из этой точки строим последовательно в масштабе векторы правой части формулы сложения: откладываем вектор , согласно его направлению (рис.2.24.); из конца вектора строим вектор , направленный по отрезку (звену) АВ в сторону полюса А, из его конца строим вектор , перпендикулярно отрезку (звену) АВ по дуговой стрелке углового ускорения тела. Затем точку Pa соединяем с концом вектора , получая вектор ускорения .

Величину ускорения можно определить графически по плану ускорений, измерив длину соответствующего отрезка ,

где k_а - масштаб построения плана ускорений, рассчитанный по формуле .

2. Определить ускорение точки можно и аналитически методом проекций, проецируя формулу сложения ускорений на оси координат.

Пример определения кинематических характеристик плоского механизма методом построения планов.

Кривошип ОА, вращаясь с постоянной угловой скоростью рад/с, посредством шатуна АВ приводит в движение кривошип ВО₁. Длины кривошипов: ОА=0,1м, ВО₁ = 1 м, длина шатуна АВ = 0,2 м. В заданном положении механизма (рис.2.25,а) определить угловые скорости шатуна АВ и кривошипа ВО₁, ускорение шарнира В, угловые ускорения звеньев.

Решение.

1. Механизм состоит из трех звеньев. Кривошип ОА совершает вращательное движение вокруг оси, проходящей через неподвижную шарнирную опору О, перпендикулярно плоскости чертежа. Шатун АВ совершает плоскопараллельное движение. Кривошип ВО₁ совершает вращательное движение вокруг оси О_1.

2. Ведущим звеном является кривошип ОА.

а). Определим скорость точки А:

, (м/с).

Вектор направляем из точки А перпендикулярно кривошипу ОА в направлении дуговой стрелки (рис.2.25,б). Скорость известна по модулю и направлению, поэтому примем точку А за полюс. Определим скорость точки В по формуле сложения скоростей (2.29)

где – скорость полюса А,

– скорость точки В при вращении вокруг полюса А.

Скорость известна по величине и направлена перпендикулярно ОА, в сторону поворота звена, то есть вертикально вверх. Для скорости известна только линия действия, направленная перпендикулярно шатуну АВ, то есть под углом 60˚ к вертикали (рис.2.25,б).

Рассмотрим направление линии действия вектора скорости . Точка В общая для звеньев 2 и 3.

	а)		б)

в)

Рисунок 2.25. Построение плана скоростей механизма

в). Кривошип 3 вращается вокруг оси О₁ , следовательно, линия действия скорости точки В перпендикулярна отрезку ВО₁, т.е. направлена под углом 30˚ к вертикали.

3. Выберем масштаб построения плана скоростей по формуле:

k = . (2.33)

Построим треугольник скоростей. Строим правую часть формулы (2.29). Для этого из точки Рv откладываем в масштабе отрезок, соответствующий вектору ( мм), затем через его конец проводим прямую, параллельную линии действия .

Теперь построим левую часть формулы. Для этого через точку Pv проводим прямую, параллельную линии действия вектора , замыкая треугольник скоростей. Согласно правилу сложения находим направления векторов скоростей и . Полученные вектора представляют собой скорости соответствующих точек в выбранном масштабе. Измерим длины отрезков на плане скоростей (рис.2.25,в) мм, мм.

Используя формулу (2.33), вычислим скорости

(м/с), (м/с).

4. Определим угловую скорость движения шатуна АВ.

Так как , угловая скорость шатуна равна:

(рад/с).

Для определения направления повернем вектор скорости вокруг полюса А. Направление вращения шатуна АВ противоположно направлению хода часовой стрелки (рис.2.25, б).

5. Определим угловую скорость кривошипа ВО₁

(рад/с).

Направление дуговой стрелки определяется поворотом вектора скорости вокруг оси вращения О₁, то есть скорость направлена против хода часовой стрелки.

6. Определим ускорение точки А. Так как кривошип вращается с постоянной угловой скоростью, то угловое ускорение ε₁ =0, а ускорение , тогда a_А= и направлено по кривошипу ВО₁ к оси вращения. Вычислим м/с².

7. Определим ускорение точки В по векторной формуле сложения

, (2.34)

где – ускорение полюса А,

– ускорение точки В при вращении плоской фигуры вокруг А. — нормальное ускорение направлено от точки В к полюсу А, по модулю .

— касательное ускорение, линия действия направлена перпендикулярно отрезку АВ, по модулю .

Ускорение полностью известно. Ускорение направлено от точке В к полюсу А и равно м/с².

Для ускорения известна только линия действия, направленная из точки В перпендикулярно ВА (рис.2.25,г). Ускорение точки В неизвестно. Для его определения составим еще одно векторное равенство.

8. Рассмотрим кривошип ВО₁. Вектор представляет собой сумму касательного и нормального ускорений

. (2.35)

где - касательное ускорение, линия действия перпендикулярна кривошипу ВО₁, по модулю .

- нормальное ускорение, направлено от точки В к оси вращения О₁, по модулю .

Построим план ускорений – графическое изображение векторных уравнений (2.34) и (2.35) ускорений точек механизма в данный момент времени. Выберем масштаб построения плана ускорений по формуле

kа = . (2.36)

Для построения плана ускорений выберем точку Pa вне схемы механизма (рисунок 2.26) Из этой точки строим последовательно в масштабе векторы правой части формулы сложения (2.34): откладываем в масштабе вектор , соответствующий мм горизонтально вправо; из конца вектора строим вектор , направленный по АВ в сторону полюса А, равный в масштабе мм, из его конца строим линию действия вектора , перпендикулярно звену АВ.

Затем из точки Pa строим правую часть формулы сложения (2.35): вектор , направленный по ВО₁ в сторону т.О₁, равный в масштабе мм, из его конца строим линию действия вектора . По плану получим как вектор, соединяющий точку Рa и точку b пересечения линий действия и .

По правилу сложения векторов (2.34), (2.35) получим направления векторов.

Величину ускорений , и можно определить графически по

а)

б)

Рисунок 2.26. План ускорений механизма

плану ускорений, измерив длины соответствующих отрезков. Измерим длины отрезков на плане мм и используя масштаб (2.36) вычислим ускорения

м/с², м/с², м/с².

Определим угловое ускорение ε₂ шатуна АВ, используя формулу

рад/с и угловое ускорение ε₃ кривошипа ВО₁, согласно , рад/с.