Кинематика ядерных реакций. Импульсная диаграмма
Напомним, что кинематикой называют раздел механики, посвященный изучению геометрических свойств движения тел без учета действующих на тела сил. Движение любого тела в кинематике изучают по отношению к некоторой системе координат, позволяющей задать относительное положение движущегося объекта в любой момент времени. В ядерной физике обычно используют две системы координат: лабораторную (ЛСК), связанную с ядром-мишенью, и систему центра инерции (СЦИ), определение которой будет дано ниже.
Кинематическая схема ядерной реакции и связь между энергиями, импульсами и углами вылета частиц в ЛСК и СЦИ имеет наглядное графическое представление и может быть проанализирована с помощью импульсной диаграммы (векторной диаграммы импульсов). Построение импульсной диаграммы основано на применении законов сохранения энергии и импульса.
Рассмотрение выполним для случая, когда скорости движения объектов существенно меньше скорости света, т.е. когда массы частиц m >> T – их кинетической энергии, и можно использовать законы классической механики.
Пусть имеется произвольная инерциальная система координат К', которая движется относительно ЛСК со скоростью . Тогда скорость любой из i = 1, 2, 3, . . . , N частиц в ЛСК и скорость в К'‑системе связаны следующим образом (принцип относительности Галилея):
. | (4.5.1) |
Закон сохранения импульса для выбранной совокупности частиц записывается следующим образом:
, | (4.5.2) |
Первое слагаемое в правой части есть суммарный импульс частиц в К'-системе, а второе - определяет импульс движения К'-системы как целого относительно ЛСК, который носит название переносного импульса. Соответствующим выбором вектора скорости можно добиться, чтобы суммарный импульс частиц в К'-системе был равен нулю:
. | (4.5.3) |
Система координат, в которой суммарный импульс частиц равен нулю, называется системой центра инерции (СЦИ). Условимся величины, относящиеся к СЦИ, обозначать сверху значком “~” (тильда). Положив в (4.5.2) = 0, найдем скорость движения СЦИ относительно ЛСК:
. | (4.5.4) |
Обратимся к рассмотрению процесса (4.1.1). Пусть в ЛСК частица а движется со скоростью , а ядро-мишень А – покоится. Используя (4.5.4) найдем скорость движения центра инерции системы (или составного ядра, если таковое образуется) относительно ЛСК:
. | (4.5.5) |
Из сотношения (4.5.2) и (4.5.5) следует, что переносной импульс СЦИ относительно ЛСК равен импульсу частицы а в ЛСК:
. | (4.5.6) |
Поместим ядро-мишень А в начале координат (рис. 4.5.1). Если частица а движется параллельно оси Х навстречу частице А, то из (4.5.5) следует, что координата центра инерции на оси Х в любой момент времени связано следующим образом с координатой ха частицы а:
, | (4.5.7) |
т.к. скорость движения вдоль оси Х есть dx/dt. На рисунке показано, что центр инерции всегда располагается между частицами а и А, двигаясь вдоль оси Х со скоростью , относительно ядра-мишени А.
Найдем с помощью (4.5.1) и (4.5.5) скорости движения частицы а и ядра-мишени А в СЦИ и соответствующие им импульсы:
(4.5.8) | |
(4.5.9) |
Таким образом, импульсы частиц а и А в СЦИ равны друг другу и противоположно направлены, как и должно быть.
Используя (4.5.8) и (4.5.9), выразим суммарную кинетическую энергию частиц a и А в СЦИ через кинетическую энергию Тa частицы a в ЛСК
. | (4.5.10) |
Кинетическая энергия есть энергия взаимного движения частиц а и А и она меньше суммарной кинетической энергии Т1 = Та на величину
(4.5.11) |
которая есть ничто иное, как кинетическая энергия движения центра инерции системы (или составного ядра) относительно ЛСК.Действительно, кинетическая энергия движения частиц а и А относительно ЛСК равна
. | (4.5.12) |
Очевидно, что кинетическая энергия (4.5.12) движения центра инерции системы не может перейти во внутреннюю энергию частиц и не может быть использована в ядерной реакции.
На этом закончим рассмотрение входного канала процесса (4.1.1) и перейдем к рассмотрению выходного канала.
В ЛСК сумма импульсов частиц b и В, образовавшихся в результате ядерной реакции, по закону сохранения импульса равна импульсу налетающей частицы а:
. | (4.5.13) |
На рис. 4.5.2 представлена схема одного из возможных вариантов разлета продуктов реакции, а на рис. 4.5.3 графический аналог векторного уравнения (4.5.13). На этих рисунках и φ – углы вылета частиц b и B относительно направления движения частицы а. Очевидно, что отрезок СВ на рис. 4.5.3 равен импульсу на рис. 4.5.2. Остальные величины совпадают с рис. 4.5.2. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать векторный треугольник АСВ (рис. 4.5.3).
Так как сумма импульсов частиц b и В относительно ЛСК согласно (4.5.6) должна быть равна импульсу , т.е. (см. (4.5.6))
, | (4.5.14) |
то отношение
, | (4.5.15) |
ив соответствии с (4.5.15) точка О на рис. 4.5.3 делит отрезок АВ = на отрезки АО = и ОВ = , т.е. АО/ОВ = ma/MA.
Очевидно, что ОС = , так как
, | (4.5.16) |
а угол на рис. 4.5.3 - есть угол вылета частицы b в СЦИ.
Вектор , согласно свойствам СЦИ, равен вектору по абсолютной величине:
, | (4.5.17) |
и направлен в противоположную сторону, т.е. частицы b и B в СЦИ разлетаются с равными и противоположными импульсами.
Вычислим величину . Из формулы (4.4.6):
, | (4.5.18) |
Или, учитывая (4.5.10),
. | (4.5.19) |
Из последнего уравнения находим
, | (4.5.20) |
где
(4.5.21) |
- есть приведенная масса частиц b и B.
Полученные результаты можно использовать для построения векторной диаграммы импульсов, графически связывающей импульсы в ЛСК и СЦИ. Для этого отрезок АВ, изображающий импульс Ра (рис. 4.5.4), надо разделить точкой О в отношении . Затем из этой точки радиусом (4.5.20) следует провести окружность, которая является геометрическим местом точек С для любого угла вылета частицы b. Тогда, если известна хотя бы одна из величин Рb , РB , , φ, , , то из диаграммы можно определить графически все остальные.
В случае упругого рассеяния (Q = 0) состав выходного канала тождественен составу входного канала и из (4.5.20) следует, что
. | (4.5.22) |
Далее построение векторной диаграммы импульсов для упругого рассеяния не имеет особенностей и выполняется аналогичным образом.
Приведем теперь несколько примеров применения законов сохранения в ядерных реакциях.
Определим энергетический порог для эндоэнергетической реакции. В СЦИ из формулы (4.4.6) имеем
(4.5.22) |
и, следовательно, минимальное значение (когда - продукты реакции неподвижны) составит
. | (4.5.23) |
Используя (4.5.10) найдем минимальную кинетическую энергию частицы а в лабораторной системе координат (ЛСК):
. | (4.5.24) |
Полученное значение кинетической энергии бомбардирующей частицы в ЛСК, при котором становится возможным протекание эндоэнергетической реакции, называется порогом реакции.
Получим формулу(4.2.2) для вычисления возможной энергии Wc возбуждения составного ядра. По определению
, | (4.5.25) |
где массы основного и возбужденного состояний составного ядра выражены в энергетических единицах.
Пусть ядро-мишень А покоится. Запишем законы сохранения энергии и импульса для первой стадии реакции
a + A ® С*, | (4.5.26) |
стадии образования составного ядра С* (звездочка означает возбужденное состояние):
, . | (4.5.27) |
Рассмотрение проведем для нерелятивистского случая, когда кинетическая энергия налетающей частицы Та ≤ 10 МэВ << ma. Тогда
. | (4.5.28) |
Подставляя (4.5.28) в (4.5.27), получим квадратное уравнение для нахождения :
. | (4.5.29) |
В (4.5.29) последнее слагаемое составляет ничтожную долю от первых двух, так как . Поэтому в качестве первого приближения принимаем . Для получения второго приближения подставляем это выражение в (4.5.29). Получаем
. | (4.5.30) |
Подставив (4.5.30) в (4.5.25), получим формулу
. | (4.5.31) |
Первый член в этом выражении есть ни что иное, как энергия отделения частицы а от составного ядра (см., например, (1.4.17)). Второй член - суммарная кинетическая энергия частиц a и А до реакции в системе центра инерции. Итак,
(4.5.32) |
На рис. 4.5.5а приведена энергетическая диаграмма для экзоэнергетической реакции (Q > 0), а на рис. 4.5.5б - для эндоэнергетической реакции (Q < 0). На диаграммах изображен процесс образования составного возбужденного ядра и его распад с образованием час тиц B и b для обоих типов реакций. Sа = MA + ma - Mc – есть энергия связи частицы а, а Sb = MB + mb - Mc – частицы b относительно составного ядра Мс соответственно.
Дата добавления: 2021-07-22; просмотров: 370;