Линейные однородные дифференциальные уравнения с

произвольными коэффициентами.

 

Рассмотрим уравнение вида

 

Определение. Выражение называется линейным дифференциальным оператором.

Линейный дифференциальный оператор обладает следующими свойствами:

 

1)

2)

 

Решения линейного однородного уравнения обладают следующими свойствами:

 

1) Если функция у1 является решением уравнения, то функция Су1, где С – постоянное число, также является его решением.

2) Если функции у1 и у2 являются решениями уравнения, то у12 также является его решением.

 

Структура общего решения.

 

Определение. Фундаментальной системой решенийлинейного однородного дифференциального уравнения n –го порядка на интервале (a, b) называется всякая система n линейно независимых на этом интервале решений уравнения.

 

Определение. Если из функций yi составить определитель n – го порядка

,

то этот определитель называется определителем Вронского.

( Юзеф Вроньский (1776 – 1853) – польский математик и философ - мистик)

 

Теорема. Если функции линейно зависимы, то составленный для них определитель Вронского равен нулю.

 

Теорема. Если функции линейно независимы, то составленный для них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого интервала.

 

Теорема. Для того, чтобы система решений линейного однородного дифференциального уравнения была фундаментальной необходимо и достаточно, чтобы составленный для них определитель Вронского был не равен нулю.

Теорема. Если - фундаментальная система решений на интервале (a, b), то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией этих решений.

,

где Ciпостоянные коэффициенты.

 

Применение приведенных выше свойств и теорем рассмотрим на примере линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка.

 

 






Дата добавления: 2017-06-13; просмотров: 799; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.023 сек.