Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение

 

 

 

Из этого уравнения определим переменную функцию С1(х):

Интегрируя, получаем:

Подставляя это значение в исходное уравнение, получаем:

 

.

Таким образом, мы получили результат, полностью совпадающий с результатом расчета по методу Бернулли.

 

При выборе метода решения линейных дифференциальных уравнений следует руководствоваться простотой интегрирования функций, входящих в исходный интеграл.

 

Далее рассмотрим примеры решения различных дифференциальных уравнений различными методами и сравним результаты.

 

 

Пример. Решить уравнение

 

Сначала приведем данное уравнение к стандартному виду:

Применим полученную выше формулу:

 

 

Уравнение Бернулли.

 

Определение. Уравнением Бернуллиназывается уравнение вида

где P и Q – функции от х или постоянные числа, а n – постоянное число, не равное 1.

 

Для решения уравнения Бернулли применяют подстановку , с помощью которой, уравнение Бернулли приводится к линейному.

Для этого разделим исходное уравнение на yn.

 

Применим подстановку, учтя, что .

 

Т.е. получилось линейное уравнение относительно неизвестной функции z.

Решение этого уравнения будем искать в виде:

 

Пример. Решить уравнение

 

Разделим уравнение на xy2:

Полагаем

.

Полагаем

Произведя обратную подстановку, получаем:

 

 

Пример. Решить уравнение

 

Разделим обе части уравнения на

Полагаем

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Рассмотрим соответствующее ему линейное однородное уравнение:

 

Полагаем C = C(x) и подставляем полученный результат в линейное неоднородное уравнение, с учетом того, что:

 

 

Получаем:

Применяя обратную подстановку, получаем окончательный ответ:

 

 

Уравнения в полных дифференциалах (тотальные).

 

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида:

называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции

 

Интегрирование такого уравнения сводится к нахождению функции u, после чего решение легко находится в виде:

Таким образом, для решения надо определить:

1) в каком случае левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал функции u;

2) как найти эту функцию.

 

Если дифференциальная форма является полным дифференциалом некоторой функции u, то можно записать:

Т.е. .

Найдем смешанные производные второго порядка, продифференцировав первое уравнение по у, а второе – по х:

Приравнивая левые части уравнений, получаем необходимое и достаточное условие того, что левая часть дифференциального уравнения является полным дифференциалом. Это условие также называется условием тотальности.

Теперь рассмотрим вопрос о нахождении собственно функции u.

Проинтегрируем равенство :

Вследствие интегрирования получаем не постоянную величину С, а некоторую функцию С(у), т.к. при интегрировании переменная у полагается постоянным параметром.

Определим функцию С(у).

Продифференцируем полученное равенство по у.

Откуда получаем:

Для нахождения функции С(у) необходимо проинтегрировать приведенное выше равенство. Однако, перед интегрированием надо доказать, что функция С(у) не зависит от х. Это условие будет выполнено, если производная этой функции по х равна нулю.

Теперь определяем функцию С(у):

Подставляя этот результат в выражение для функции u, получаем:

 

Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения будет иметь вид:

 

Следует отметить, что при решении уравнений в полных дифференциалах не обязательно использовать полученную формулу. Решение может получиться более компактным, если просто следовать методу, которым формула была получена.

 

Пример. Решить уравнение

 

Проверим условие тотальности:

Условие тотальности выполняется, следовательно, исходное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Определим функцию u.

;

Итого,

Находим общий интеграл исходного дифференциального уравнения:

 

 

Уравнения вида y = f(y’) иx = f(y’).

 

Решение уравнений, не содержащих в одном случае аргумента х, а в другом – функции у, ищем в параметрической форме, принимая за параметр производную неизвестной функции.

Для уравнения первого типа получаем:

Делая замену, получаем:

В результате этих преобразований имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Общий интеграл в параметрической форме представляется системой уравнений:

Исключив из этой системы параметр р, получим общий интеграл и не в параметрической форме.

 

Для дифференциального уравнения вида x = f(y’) с помощью той же самой подстановки и аналогичных рассуждений получаем результат:

 

 

Уравнения Лагранжа и Клеро.

( Алекси Клод Клеро (1713 – 1765) французский математик

ин. поч. член Петерб. АН )

 

 

Определение. Уравнением Лагранжаназывается дифференциальное уравнение, линейное относительно х и у, коэффициенты которого являются функциями от y’.

Для нахождения общего решение применяется подстановка p = y’.

Дифференцируя это уравнение,c учетом того, что , получаем:

Если решение этого (линейного относительно х) уравнения есть то общее решение уравнения Лагранжа может быть записано в виде:

 

Определение. Уравнением Клероназывается уравнение первой степени (т.е. линейное) относительно функции и аргумента вида:

Вообще говоря, уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа.

С учетом замены , уравнение принимает вид:

Это уравнение имеет два возможных решения:

или

В первом случае:

 

Видно, что общий интеграл уравнения Клеро представляет собой семейство прямых линий.

Во втором случае решение в параметрической форме выражается системой уравнений:

 

Исключая параметр р, получаем второе решение F(x, y) = 0. Это решение не содержит произвольной постоянной и не получено из общего решения, следовательно, не является частным решением.

Это решение будет являться особым интегралом. ( См. Особое решение. )

Далее рассмотрим примеры решения различных типов дифференциальных уравнений первого порядка.

 

Пример. Решить уравнение с заданными начальными условиями.

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Решим соответствующее ему однородное уравнение.

Для неоднородного уравнения общее решение имеет вид:

Дифференцируя, получаем:

Для нахождения функции С(х) подставляем полученное значение в исходное дифференциальное уравнение:

 

Итого, общее решение:

 

C учетом начального условия определяем постоянный коэффициент C.

Окончательно получаем:

Для проверки подставим полученный результат в исходное дифференциальное уравнение: верно

Ниже показан график интегральной кривой уравнения.

 

 

Пример. Найти общий интеграл уравнения .

 

Это уравнение с разделяющимися переменными.

Общий интеграл имеет вид:

 

Построим интегральные кривые дифференциального уравнения при различных значениях С.

 

 

С = - 0,5 С = -0,02 С = -1 С = -2


 

С = 0,02 С = 0,5 С = 1 С = 2

 

Пример. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

 

Это уравнение с разделяющимися переменными.

Общее решение имеет вид:

 

Найдем частное решение при заданном начальном условии у(0) = 0.

 

Окончательно получаем:

 

 

Пример. Решить предыдущий пример другим способом.

 

Действительно, уравнение может быть рассмотрено как линейное неоднородное дифференциальное уравнение.

 

Решим соответствующее ему линейное однородное уравнение.

 

Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

Тогда

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

 

Итого

С учетом начального условия у(0) = 0 получаем

 

 

Как видно результаты, полученные при решении данного дифференциального уравнения различными способами, совпадают.

При решении дифференциальных уравнений бывает возможно выбирать метод решения, исходя из сложности преобразований.

 

 

Пример. Решить уравнение с начальным условием у(0) = 0.

 

Это линейное неоднородное уравнение. Решим соответствующее ему однородное уравнение.

 

Для линейного неоднородного уравнения общее решение будет иметь вид:

Для определения функции С(х) найдем производную функции у и подставим ее в исходное дифференциальное уравнение.

Итого

 

 

Проверим полученное общее решение подстановкой в исходное дифференциальное уравнение.

(верно)

 

Найдем частное решение при у(0) = 0.

Окончательно

 

 

Пример. Найти решение дифференциального уравнения

с начальным условием у(1) = 1.

 

Это уравнение может быть преобразовано и представлено как уравнение с разделенными переменными.

 

С учетом начального условия:

Окончательно

 

Пример. Решить дифференциальное уравнение с начальным условием у(1) = 0.

 

Это линейное неоднородное уравнение.

Решим соответствующее ему однородное уравнение.

 

Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

Подставим в исходное уравнение:

Общее решение будет иметь вид:

 

C учетом начального условия у(1) = 0:

Частное решение:

Пример. Найти решение дифференциального уравнения с начальным условием у(1) = е.

 

Это уравнение может быть приведено к виду уравнения с разделяющимися переменными с помощью замены переменных.

Обозначим:

Уравнение принимает вид:

 

Получили уравнение с разделяющимися переменными.

 

Сделаем обратную замену:

Общее решение:

 

C учетом начального условия у(1) = е:

Частное решение:

 

Второй способ решения.

 

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Соответствующее однородное:

 

Решение исходного уравнения ищем в виде:

Тогда

Подставим полученные результаты в исходное уравнение:

 

Получаем общее решение:

 

 

Пример. Решить дифференциальное уравнение с начальным условием у(1)=0.

 

В этом уравнении также удобно применить замену переменных.

Уравнение принимает вид:

Делаем обратную подстановку:

Общее решение:

 

C учетом начального условия у(1) = 0:

Частное решение:

 

 

Второй способ решения.

Замена переменной:

Общее решение:

 

 






Дата добавления: 2017-06-13; просмотров: 1230; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.204 сек.