Линейные однородные дифференциальные уравнения с

постоянными коэффициентами.

 

Решение дифференциального уравнения вида или, короче, будем искать в виде , где k = const.

Т.к. то

 

При этом многочлен называется характеристическим многочленомдифференциального уравнения.

Для того, чтобы функция являлась решением исходного дифференциального уравнения, необходимо и достаточно, чтобы

т.е.

Т.к. ekx ¹ 0, то - это уравнение называется характеристическим уравнением.

 

Как и любое алгебраическое уравнение степени n, характеристическое уравнение имеет n корней. Каждому корню характеристического уравнения ki соответствует решение дифференциального уравнения.

 

В зависимости от коэффициентов k характеристическое уравнение может иметь либо n различных действительных корней, либо среди действительных корней могут быть кратные корни, могут быть комплексно – сопряженные корни, как различные, так и кратные.

Не будем подробно рассматривать каждый случай, а сформулируем общее правило нахождения решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

 

1) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни.

2) Находим частные решения дифференциального уравнения, причем:

a) каждому действительному корню соответствует решение ekx;

б) каждому действительному корню кратности m ставится в соответствие m решений:

в) каждой паре комплексно – сопряженных корней характеристического уравнение ставится в соответствие два решения:

и .

г) каждой паре m – кратных комплексно – сопряженных корней характеристического уравнения ставится в соответствие 2m решений:

3) Составляем линейную комбинацию найденных решений.

 

Эта линейная комбинация и будет являться общим решением исходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

 

 

Пример. Решить уравнение .

 

Составим характеристическое уравнение:

Общее решение имеет вид:

 

Пример. Решить уравнение

 

Это линейное однородное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами второго порядка. Для нахождения общего решения необходимо отыскать какое - либо частное решение.

Таким частным решением будет являться функция

 

Исходное дифференциальное уравнение можно преобразовать:

 

Общее решение имеет вид:

Окончательно:

 

Пример. Решить уравнение

 

Составим характеристическое уравнение:

 

Общее решение:

 

Пример. Решить уравнение

 

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

 

 

Пример. Решить уравнение

 

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

 

 

Пример. Решить уравнение

 

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

 

 

Пример. Решить уравнение

 

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

 

 

Пример. Решить уравнение

 

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

 

 

Пример. Решить уравнение

 

Это уравнение не является линейным, следовательно, приведенный выше метод решения к нему неприменим.

Понизим порядок уравнения с помощью подстановки

Тогда

Окончательно получаем:

 

Это выражение будет общим решением исходного дифференциального уравнения. Полученное выше решение у1 = С1 получается из общего решения при С = 0.

 

 

Пример. Решить уравнение

 

Производим замену переменной:

Общее решение:

 

 






Дата добавления: 2017-06-13; просмотров: 842; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.04 сек.