Б). Шкала предпочтения - ШП

Данная шкала (рис. 10 Б), также имеет разные названия, сохраняя единый смысл (шкала порядка, рангов, предпочтений). При измерениях по этой шкале используется главный принцип квалиметрии - принцип попарного сопоставления.

Логику измерений по шкале предпочтения можно записать в виде:

Q_i ‹ или› Q _j , 2

где: Q_i - характеристика измеряемого объекта,

Q _j - характеристика другого объекта из сравниваемого подмножества j = 1,2,…n.

Полученное подмножество Т можно разложить по оси качества либо по признаку возрастающего предпочтения Q₁ › Q₂ › Q₃…,либо по признаку убывающего предпочтения Q₁ ‹ Q₂ ‹ Q₃…. Выбор порядка предпочтения зависит от целей исследования.

В нашем примере с телевизионным контролем за признак предпочтения можно выбрать простоту устранения дефекта, создав ряд: устранение скола фанеровки, сведение лучей, замена кинескопа. При выборе из ряда аналогичных приборов, для установки одного из них на борт самолета, можно избежать точного определения веса, просто попарно сопоставляя приборы на рычажных весах. И когда масса m_i какого-то из них оказывается меньшей, то, естественно, что именно он будет выбран для летательного аппарата. Напомним, что количество топлива увеличивается в пропорции 10 литров на 1 кг аппаратуры для самолета и 100 литров на 1 кг для ракеты.

Аксиоматика шкал предпочтения усложняется незначительно.

1.Если t₁,t₂ Î T , а t₁ J t₂, то либо t₁ П t₂, либо t₂ П t₁ , и тогда получаем свойство связности.

2. Если t₁ ,t₂ Î T , а t₁ П t₂, то t₂ t₁ и тогда получаем свойство асимметрии.

3. Если t₁,t₂,t₃Î T, а t₁ П t₂ и при этом t₂ П t₃, то t₁ П t₃ и тогда получается известное уже свойство транзитивности.

Расстановка объектов в порядке убывания или возрастания их показателей называется ранжированием и при этой процедуре используется, как это было отмечено выше, принцип попарного сопоставления. Психологи утверждают, что такой принцип лежит в основе любого выбора, то есть сравнивать размеры попарно всегда проще, чем сразу определить их место на шкале предпочтения. Для облегчения измерения по шкале предпочтения (порядка) некоторые точки на ней можно закрепить в качестве опорных (реперных). Студенческие знания оцениваются по этой шкале, а сами цифры носят название баллов.

В качестве примеров можно рассматривать таблицу интенсивности землетрясений по 12-ти балльной шкале MSK – 64 (не путать с 7-ми балльной шкалой Рихтера и 10-ти балльную таблицу твердости минералов по шкале Роквелла.

По шкале предпочтения сравниваются размеры, которые сами остаются неизвестными. Ранжированный ряд может быть получен в результате опытов, расчетов или их комбинации, в результате сравнения принимается решение какой размер больше, меньше или равен. В отличие от теоретического сравнения экспериментальное сравнение является случайным, то есть решение может быть правильным или неправильным. На правильность решения оказывает влияние наличие помех. Отметим, что помехи могут быть как аддитивными, так и мультипликативными. Помеха измерению является предметом самостоятельного изучения, большинство измерений связано с введением поправки корректирующей ошибку, вызванную помехой. При использовании шкал предпочтения введение поправки бессмысленно, так как эта шкала определяет только логические операции, при этом, отсутствует масштаб, и не могут выполняться никакие арифметические действия. Баллы нельзя складывать, вычитать, перемножать или делить. Поэтому, несмотря на малую информативность шкал предпочтения, они, тем не менее, находят широкое применение при оценках в трудно формализуемых областях: в социальной сфере, искусстве, гуманитарных науках, при органолептических экспертизах, при визуальном контроле и т.д.

Рис.11. Структурная схема средства измерения

Структурную схему средства измерения по шкале предпочтений можно представить в виде, приведенном на рис.11.

Представленная на рисунке схема состоит из компаратора (устройства сравнения) и решателя (устройства принятия решения). Чаще всего в роли компаратора при оценивании по шкале предпочтений выступает человек. При автоматизации процесса это может быть ЭВМ.

Шкала предпочтений является вторым представителем непараметрических шкал. В шкале не проводится действий между несколькими объектами одновременно, а рассматриваются только парные соответствия.

В). Шкала дистанций - ШД

Шкала дистанций, как и две предыдущие, имеет разные названия в разных литературных источниках, при сохранении единой логики. Она носит название шкалы дистанций, разности, интервалов. Шкала (рис.10 В) позволяет определять разность между размерами, которые сами остаются неизвестными, так как в шкале не вводится понятия начала отсчета. В шкале вводятся соотношения между несколькими объектами, поэтому аксиоматика этих шкал достаточно сложна и не будет рассматриваться в пособии. Единственное, что нужно отметить, что оператор D, обозначающий величину дистанции, в записи t₁t₂ D t₃t₄ указывает, что разность t₁ – t₂ предпочтительнее, чем t₃ – t₄.

Модель теоретического сравнения размеров одной меры представлены в виде

Q_i – Q_j = DQ_ij. 3

При этом с размером Q_j сравниваются все размеры Q_i. Представим, что имеется ранжированный ряд Q₅ Q₄ Q₃ Q₄ Q₅, порядок появления измерений не имеет значений, так как всегда их можно перенумеровать в порядке возрастания или убывания. На рис.12 представлен набор пяти дистанций, в качестве Q_j выбран 3-ий размер, если бы мы выбрали Q₄, произошло бы смещение нуля вправо. То есть точка нуля выбирается произвольно. Следовательно, разность между дистанциями (интервал) может принимать как отрицательные, так и положительные значения. Само понимание начала отсчета произвольно и полностью зависит от желания исследователя или постановки задачи.

Рис. 12. Пример построения шкалы дистанций.

Приведем несколько примеров шкалы дистанций.

1. Необходимо измерить высоту здания от основания фундамента. При этом, совершенно не важно от какого уровня вести отсчет, от уровня моря или от той отметки по высоте, на которой находится здание.

2. Расстояние по окружности между противоположными концами диаметра не зависит от начала отсчета.

3. Перепад температур не зависит от выбора разных температурных шкал:

Цельсия 100⁰ - (между таянием льда и кипением),

Реомюра 80⁰,

Фаренгейта 180⁰ ,

Кельвина – 0 отсчета равен - 273,16 ⁰.

Деление шкалы интервалов на равные части – градации, устанавливает на ней масштаб и позволяет выразить измерение в числовой мере, то есть мы измеряем число градаций укладывающихся в интервале DQ_j. Для удобства измерений и повышения точности можно использовать различные градации:

· равномерная градация на основе арифметической прогрессии, когда диапазон измерений не велик,

· градация на основе геометрической прогрессии, с целью укрупнения масштаба удаленных измерений,

· градация на основе логарифмической шкалы при большом диапазоне значений и возможности линеаризации характеристик и применения принципа аддитивности,

· градации на основе вероятностных законов распределения,

· градация на основе комбинации различных СШ,

· градация на основе ряда предпочтительных чисел. На шкале интервалов определены такие действия как сложение и вычитание, то есть можно определить, на сколько один размер отличается от другого. Так на рис. 12.

Q₅ – Q₄ = DQ₅ - DQ₄,

Q₅ – Q₂ = DQ₅ – (- DQ₂).

Так как начало отсчета неопределенно, умножение и деление на шкале интервалов не производится.

Структурная схема средства измерения представлена на рис. 13.

Отсчетное устройство

Компаратор

Q_i

Q_j

Рис.13. Структурная схема средства измерения

В устройстве сравнения осуществляется операция (3)

Q_i – Q_j = DQ_ij .

Компаратор выполняет те же функции, что и в шкале предпочтений, отличие состоит в том, что дистанция Q_j, с которой производится сравнение, устанавливается один раз. Отсчетное устройство служит для определения разности между измеряемым объектом и базовым размером Q_j. Главным элементом отсчетного устройства является градуированная шкала, осуществляющая преобразование DQ_ij DQ_{i г}. Цена деления шкалы называетсяградуировкой. При реальных измерениях на объект воздействует много факторов, учет их совместного воздействия невозможен, поэтому появляется случайное слагаемое. Пусть измеряем разницу веса Dm = m₁ – m₂, но на самом деле m₁ – m₂ = Dm – M, правая часть должна быть преобразована отсчетным устройством в масштаб принятой градуировки. Но так как, в самом преобразовании могут быть ошибки, то получим Х= Dm – M – Н, где Х- отдельно взятое показание средства измерения называемое отсчетом – х по шкале интервалов, а Н- аддитивно взятое случайное слагаемое, характеризующее ошибку измерения.

Если удается получить представление о законах распределения M и Н или оценить их средние значения, тогда в показание средства измерений вносится поправка . Так как поправка не является случайной, то она задает смещение Dm = х + Q (показание + поправка). Поправка может быть положительной (например, когда часы отстают) или отрицательной (часы спешат).

В общем случае внесение в показание х поправки Q обеспечивает правильность результата измерений. Достаточно вспомнить соотношение между понятием категоричности и надежности статистических оценок. Результат измерений при этом остается случайным и мы никогда не получим точечного категорического ответа, а всегда получим доверительный интервал в котором будут находиться значения.

Г). Шкала отношений - ШО.

Эта шкала также имеют различные названия, - шкала пропорциональности, подобия, отношений, но чаще всего в литературе применяется последнее название. В этой шкале - ШО (рис.10 Г) полагают, что неизвестный размер сравнивается с известным размером и выражается через него в кратном или дольном отношении. В ШО вводится понятие начала отсчета - нулевой точки. Измерения по шкале отношений отвечают на вопрос « во сколько раз больше?» и поэтому позволяют осуществлять все возможные арифметические действия. Шкала отношений не имеет отрицательных значений и лежит в диапазоне от 0 до ∞.

При сравнении двух размеров по ШО следуют отношению: Q _I / Q_j = q_ij 4

Размер Q_j стоящий в знаменателе выступает в качестве единицы измерения, поскольку частное от деления q_ij показывает в размере Q_i. Для обеспечения единства измерений в качестве Q_j выбирается узаконенная единица [Q], то есть .

Все сказанное о помехах выше, применимо и для ШО, т.е. поправка также суммируется или вычитается из измерения

Q = X ± Q .

Пример. Точность рулетки 0,1%, измеряется длина комнаты 500 см., длина рулетки 10 м. Ошибка при измерении составит величину Q =1000 см. * 0,001 = 1 см, и тогда с учетом поправки измерения будут лежать в диапазоне - 559 ¸561 см.

Из этого примера, очевидно, что на результат измерения влияет точность средства измерения. Если в ШО за начало отсчета принять абсолютное значение нуля (абсолютная температура, абсолютно черное тело, абсолютное поглощение электромагнитного излучения, скорость света и т.п.), то осуществляется переход к абсолютной шкале. Некоторые авторы выделяют этот тип шкал в отдельный класс. В данном пособии будем использовать только 4 типа СШ, рассмотренных выше.