III. Шкала интервалов (разностей)

применяется для объектов, свойства которых удовлетворяют отношениям эквивалентности, порядка, аддитивности.

Следующая по силе шкала - шкала интервалов (интервальная шкала), которая в отличие от предыдущих, качественных, шкал уже является количественной шкалой. Эта шкала применяется, когда упорядочивание значений измерений можно выполнить настолько точно, что известны интервалы между любыми двумя из них (рис. 2).

Рис. 2. Соотношение шкал интервалов для одной и той же физической величины.

В шкале интервалов присутствуют упорядоченность и интервальность, но нет нулевой точки. Шкалы могут иметь произвольные начала отсчета, а связь между показаниями в таких шкалах является линейной:

Примеры:

1. Температура, время, высота местности — величины, которые по физической природе либо не имеют абсолютного нуля, либо допускают свободу выбора в установлении начала отсчета.

2. Часто можно услышать фразу: «Высота ... над уровнем моря». Какого моря? Ведь уровень морей и океанов разный, да и меняется со временем. В России высоты точек земной поверхности отсчитывают от среднемноголетнего Уровня Балтийского моря в районе Кронштадта.

В этих шкалах присутствует:

- условный «0»,

- интервал равный для всей шкалы,

- условная единица измерений.

Примеры:

1. Шкала температур (не Кельвин)

Шкала шведского ученого Цельсия (в 1742г) 1 ⁰С= 1/100 (разница t⁰ кипения и t⁰ замерзания воды),

Шкала Фаренгейта (в 1727г) 1 ⁰F= 1/180 (разница t⁰ кипения и t⁰ замерзания воды),

Шкала Реомюра (в 1730г) 1 ⁰R= 1/80 (разница t⁰ кипения и t⁰ замерзания воды),

Δt=1 ⁰C=1,8 ⁰F; 1⁰F =5/9⁰C

0 ⁰C=+32 ⁰F или 0 ⁰F = -17.78 ⁰C

t⁰C=5/9(t⁰F –32)

Возможен точный перевод из одной шкалы в другую

2. Шкала летосчисления в разных религиозных традициях

Примеры условного задания начала отсчета летосчисления или «0»:

· «0» в Христианском календаре – от рождества Христова, 0 год н.э. Но одновременно существует Юлианский календарь (введен Юлием цезарем), по которому живет православная церковь и Григорианский (введен в 1582г Папой римским Григорием ХIII), по которому живет Европа и Северная Америка.

· «0» в Иудаистском календаре – от сотворения мира 3760 г до н.э., год лунный, в году 354 (355) дней,

· «0» в Мусульманском календаре –622 год н.э. – от даты переселения пророка Мухаммеда из Мекки в Медин;

· «0» в Буддистском календаре – 543 г до н.э., год перехода Будды Гаутамы в Нирвану.

А возможно и от Большого взрыва или от возникновения планеты Земля (~4,5 млрд лет) и т.д.

Если основное уравнение измерений Q=q |Q|

То по шкале интервалов оно выглядит так

Q= Q ₀ +q |Q| , где Q₀ – начало отсчета.

Принципы построения шкалы интервалов:

1) Выбираются 2 реперные точки, которые назначаются условно, обычно они связаны с каким- то событием или состоянием.

1) Интервал между этими 2-мя точками делится на несколько частей, причем количество частей может быть произвольным.

2) Единица/интервал получаются естественно (год, сутки) или условно (неделя, градус Цельсия, градус по Фаренгейту), «0» – устанавливается условно (это одна из реперных точек).

Математические операции, выполняемые с величинами:

= или ≠ (эквивалентность); > или < (порядок)

+∆ или -∆ (аддитивность), но складывать и вычитать имеет смысл только интервалы значений, а не значения целиком.

Например:

1941г + 4г =1945г- это выражение имеет смысл,

а 1945г+1945г = 3990г – смысла не имеет.

Шкалы интервалов

В этой шкале только интервалы значений обладают всеми свойствами «настоящих чисел» и только над интервалами следует выполнять арифметические операции. Если произвести арифметические операции над самими отсчетами по шкале, забыв об их относительности, то имеется риск получить бессмысленные результаты.

Пример. Нельзя сказать, что температура воды увеличилась в два раза при ее нагреве от 10°C до 20°C по шкале Цельсия, поскольку для того, кто привык пользоваться шкалой Фаренгейта, это будет звучать весьма странно, так как в этой шкале температура воды в том же опыте изменится от 50°F до 68°F.

Шкалы разностей

Частным случаем интервальных шкал являются шкалы разностей: циклические (периодические) шкалы, шкалы, инвариантные к сдвигу. В такой шкале значение не изменяется при любом числе сдвигов.
у = х + nb, где n = 0, 1, 2,…, а константа b называется периодом шкалы.

Примеры. В таких шкалах измеряется направление из одной точки (шкала компаса, роза ветров и т. д.), время суток (циферблат часов), фаза колебания (в градусах или радианах).
Однако соглашение о хотя и произвольном, но едином для нас начале отсчета шкалы позволяет использовать показания в этой шкале как числа, применять к нему арифметические действия (до тех пор пока кто-нибудь не забудет об условности нуля, например при переходе на летнее время или обратно).