Передаточные функции фильтров

В общем виде алгоритм синтеза ARC- фильтров сводится к следующему:

· формируются требования к его амплитудной частотной характеристике (АЧХ), т.е. устанавливаются граничные частоты полос пропускания и задерживания, максимальное и минимальное значения АЧХ в полосе пропускания, максимально допустимое значение АЧХ в полосе задерживания;

· по требованиям к АЧХ синтезируется передаточная функция фильтра в виде произведения функций не выше 2-го порядка;

· производится анализ модуля синтезированной комплексной функции передачи в частотной области с целью проверки удовлетворения требованиям к АЧХ;

· каждая из функций 1-го и 2-го порядка реализуется тем или иным активным звеном на основе, как правило, операционных усилителей;

· звенья подключаются каскадно, обеспечивая тем самым реализацию произведения передаточных функций 1 -го и 2-го порядка и формируя схему фильтра;

· осуществляется физическая реализация фильтра с последующим экспериментальным исследованием его АЧХ с целью проверки удовлетворения требованиям.

При этом все расчеты базируются, как правило, на расчете нормированного фильтра прототипа низких частот (НЧП), с последующим переходом к реальному фильтру того или иного типа.

В качестве аппроксимирующих функций нашли широкое применение полимиальные и дробно рациональные – эллиптические: Баттерворта, Чебышева;

Если известны координаты нулей и полюсов синтезируемого фильтра, то передаточную функцию можно записать так:

, (9.19)

где К₀ – нормирующий постоянный коэффициент; M – количество нулей; N – количество полюсов; P – комплексная частота.

; – нули и полюсы.

При этом нули всегда мнимые, а полюсы комплексно-сопряженные и/или действительные отрицательные. Если в формуле (9.19) раскрыть попарно скобки, группируя множители с комплексно-сопряженными нулями и полюсами, то получим:

, (9.20)

здесь n = 0 , если N – четное и N = 1, если N – нечетное.

Формула (9.20) записана для нормированного прототипа ФНЧ.

Отсюда следует, что с учетом каскадного представления ARC- фильтров, передаточная характеристика отдельного звена, в общем виде будет выглядеть так:

, (9.21)

здесь b₀ =1; b₁ = -2α₁ ; b₂ = ( ), а₀ =1: а₁ = .

При этом частота полюса звена фильтра;

- называется добротностью полюса;

ω_z – называется резонансной частотой нуля или частотой режекции.

Для звена ФНЧ первого порядка а₀ = b₀ = 0 ; b₂ = 1, тогда получим:

(9.22)

Реализация фильтров в виде каскадного соединения звеньев, не выше второго порядка, позволяет получить фильтры с низкой чувствительностью.