Реализация звеньев второго порядка

 

В общем виде выражение передаточной функции ФНЧ второго порядка для фильтров полиноминального типа можно записать так:

(9.27)

 

При а0 = 0. А для дробного типа, т.е. при наличие нулей в полосе не пропускания (например: инверсные Чебышева):

 

(9.28)

 

 

На рисунке 9.52 представлена схема ARC - фильтра нижних частот второго порядка с отрицательной обратной связью.

 

 

Рис. 9.52 Активный фильтр нижних частот второго порядка с отрицательной обратной связью

 

Для узловых напряжений U3 и U4 на основании законов Киргхофа можно записать:

 

(9.29)

 

Учтем, что U4 = - U2/μ и тогда получим:

 

(9.30)

Для решения этой системы можно использовать MathCAD. На рисунке 9.53 приведен листинг программы решения системы уравнений с помощью встроенной функции Find (x,y…)

 

 

 

Рис. 9.53 Листинг программы

 

В блоке Given (Заданно) записывается система уравнений (например, (9.30)), далее указываются, если необходимо, коэффициенты системы и вызывается функция Find(--) решения системы уравнений с указанием неизвестных в качестве аргумента. В данном примере под U2 подразумевается коэффициент передачи H2(p) = U2/U1. Для решения системы уравнений в символическом виде необходимо на панели инструментов инициализировать значок символические операторы и затем символический знак равенства ( → ).

С учетом того, что μ→ ∞ получим:

 

Приравняв коэффициенты этой функции с коэффициентами выражения (9.27), получим: a0 = 0, a2 =1, K0 = - R3 / R1 , b2 = 1, b0 = C1C2R2R3, b1 = C1(R2+R3+( R2R3/R1).

Как видно, расчетные формулы справедливы для произвольных положительных значений коэффициентов ai и bi. Таким образом, задавая эти значения для конкретных типов фильтров (Баттерворта, Чебышева, Гаусса), можно реализовать эти фильтры по одной схеме. Коэффициент передачи постоянного сигнала K0 фильтра оказывается отрицательным, поэтому прошедший через фильтр низкочастотный сигнал будет инвертирован. Для расчета фильтра можно, например, задать значение сопротивлений R1 и R3 и по приведенным формулам вычислить значение R2 , C1 и C2.

Однако чтобы реальная схема фильтра имела желаемую амплитудночастотную характеристику, входящие в неё элементы могут быть подобранны исходя из следующих соображений. При подборе сопротивлений никаких проблем не возникает, поскольку их стандартные номиналы задаются с однопроцентным допуском. Что касается конденсаторов, то допуск их номинальных значений, как правило, составляет 10% и более. В связи с этим лучше при расчете фильтра задавать значение емкостей конденсаторов и вычислять необходимые значения сопротивлений. Поэтому решим уравнение относительно сопротивлений.

С2 ≈ 10/fc [мкФ]; С1 ≤ С2; ;

; .

Для того, чтобы получить сопротивление R3 было действительным, должно выполняться условие:

 

 

При выполнении этого условия в процессе расчета фильтра не следует выбирать отношение C2/C1 много большим величины, стоящей справа.

Фильтр нижних частот на ОУ с положительной обратной связью может быть реализован по схеме приведенной на рис. 9.54.

 

 

Рис. 9.54 Фильтр НЧ с ПОС

 

Запишем уравнения для напряжений в узлах 3 и 4:

 

 

При этом U3 = U2/K0 , а K0 = 1 + R4/R3. С учетом этого система уравнений примет вид:

 

 

Воспользовавшись программой, листинг которой приведен на рис. 11.55, получим выражение коэффициента передачи:

 

 

Сравнивая это выражение с уравнением (9.27) находим значение элементов схемы: К0 = 1 + R4 / R3 ; ; ; a1 = 1; , где входное сопротивление используемого операционного усилителя.

; ; ; ;

; ;

Если Ко=1, то R3 → ∞, а R4 = 0. Расчеты можно упростить если положить R1 = R2 = R и C1 = C2 = C. Тогда ; , причем –есть добротность полюсов звеньев фильтра.

 

 

Если заменить в схеме на рис. 9.52 сопротивление на емкости и наоборот, то получится ФВЧ второго порядка с отрицательной обратной связью (рис. 9.56).

 

Рис. 9.56 Активный фильтр верхних частот второго порядка с отрицательной обратной связью

 

Чтобы записать выражение передаточной функции для фильтра верхних частот второго порядка, нужно по формуле (9.27) в соответствии с преобразованием частот вместо p подставить 1/p. Тогда:

 

(9.31)

 

При этом полиномиальные коэффициенты знаменателя связаны с подобными коэффициентами ФПНЧ следующим образом:

 

b2в = b0 ; b1в = b1 ; b0в = b2

 

По аналогии с ФНЧ второго порядка можно получить передаточную функцию для этого фильтра:

 

(9.30)

 

 

Сравнивая выражения (9.29) и (9.30) находим коэффициент передаточной функции для ФВЧ:

 

К = – С1 / С2; a1 = 1; b2в = 1; ;

 

Положим , тогда С2 = С1 / К и приняв, например, R2 = 1 Ком, легко найти оставшиеся элементы схемы.

 

Активный фильтр верхних частот на ОУ с положительной ОС показана на рис. 9.57.

 

Рис. 9.56 Активный фильтр верхних частот второго порядка с положительной обратной связью

 

Его передаточная функция имеет вид:

 

 

Элементы схемы можно найти следующим образом:

К0 ≥ 1; К0 = 1 + R4/R5 ; R5 ≤ 0,01 Rоу; ; b2в = ;

b2в = ; ; ;

(или R2 = R1 / К0). Для упрощения расчетов можно положить C1 = C2 = C.

Из вышеизложенного видно, что коэффициент усиления фильтра не зависит от частоты среза. Существенным недостатком фильтров с положительной ОС является необходимость тщательной подборки коэффициента усиления, так как усилитель может переходить в режим возбуждения. Зато для построения фильтров различного типа достаточно изменить лишь значение коэффициента усиления при одних и тех же значениях элементов схемы.

Для увеличения избирательности фильтров применяют фильтры более высокого порядка. Для этого используют, как указывалось выше, цепочечное соединение звеньев первого и второго порядков. Еще одним путем увеличения избирательности является переход на фильтры дробного типа (например, инверсный Чебышева). Т.е. построение фильтров с нулями передачи в полосе запирания. Для таких фильтров общий вид передаточной характеристики приведен в формуле (9.28).

 

 

При реализации такой характеристики ARC-фильтров используют ОУ, в цепи ОС которых включают двойные Т-образные мосты (рис. 9.58).

 

 

 

Рис. 9.57 Активный фильтр с двоичным Т–образным мостом

 

Запишем напряжения для узлов 3, 4, 5:

 

 

 

Воспользовавшись программой MathCAD, решаем систему в символьном виде. Решение будет выглядеть существенно громоздким. Поэтому для упрощения выражения примем:

; ; ; ;

Результат представлен листингом программы, показанном на рис. 9.59.

 

 

 

Таким образом, функция передачи для звена ARC-фильтра, изображенного на рис. 19.58, примет вид:

 

 

Сравнивая это выражение с формулой (9.28) получим:

К0=1; а2=1; b2=1; b1 = RC; a0 = (RC)2

Значения элементов можно определить следующим образом:

; ;

Можно емкости оставить теми же, а сопротивления взять разными:

R1 = R ; R2 = α·R ; ,

тогда функция передачи примет вид:

 

Для увеличения добротности фильтра ОУ можно включить в режиме с конечным усилением К0 (рис. 9.60).

 

 

 

Рис. 9.58ARC-фильтр с двойным Т-образным мостом и коэффициентом усиления К0 > 1

 

Его функция передачи будет описываться следующим выражением:

 

 

Более сложный вариант ARC-фильтра на двойном Т-образном мосте приведен на рис. 9.61.

 

 

Рис. 9.59 ARC-фильтр на двойном Т-образном мосте

 

Для упрощения конечного выражения функции передачи будем полагать:

; ; ; ; R4 = β·R ;

C4 = β·C ;

 

Тогда выражение для функции передачи примет вид:

 

 

На рис. 9.62 приведен листинг программы для получения этой передаточной функции.

 

 

 

Примерные значения элементов схемы могут быть найдены следующим образом:

; β = (0,5 ÷ 10); ;

Далее приводится модуль программы расчета НЧ ARC-фильтра. Программа может быть использована для расчета трех типов фильтров: Баттерворта, Чебышева и инверсного Чебышева. Следует учесть, что данной программой можно пользоваться только при добротности звеньев фильтра не более 10. При большей добротности лучше строить звенья по более сложным схемам с использованием двух ОУ в каждом звене.

Подводя итог вышеизложенному, порядок расчета ARC-фильтров может быть таким:

1. По переходным данным выбираем тип аппроксимирующей функции Чебышева, Баттерворта, инверсный Чебышев и т.п.

2. Производится нормирование частот и определяется необходимый порядок ФПНЧ:

 

– для фильтров Баттерворта;

 

– для фильтров Чебышева,

 

где

3. Вычисляются координаты нулей и полюсов передаточной характеристики ФПНЧ. Затем по таблице 9.7 эти координаты пересчитываются для проектируемого типа фильтра.

4. В соответствии с полученными координатами полюсов конструируется теоретическая функция передачи фильтра, которая представляется в виде произведения функций не выше второго порядка.

5. Выбирается схема реализации звеньев фильтра и рассчитываются элементы схемы.

6. Затем выбираются номиналы элементов схемы и осуществляется АЧХ фильтра.

 

 






Дата добавления: 2017-05-02; просмотров: 1170; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2019 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь
Генерация страницы за: 0.017 сек.