Реализация звеньев первого порядка

Передаточная функция фильтра нижних частот первого порядка в общем случае определяется выражением (9.22). Фильтр с такой передаточной функцией может быть реализован, если в цепи обратной связи операционного усилителя использовать пассивный RC – фильтр первого порядка (рис. 9.47).

Рис. 9.47 Активный фильтр нижних частот первого порядка

Для этого звена используя метод узловых напряжений можно записать систему для передаточной функции:

Полагая, что собственный коэффициент ОУ μ→ ∞ и решая эту систему относительно коэффициента передачи звена H₁(p) = U₂/U₁ получим:

(9.23)

Сравнивая выражения (9.22) и (9.23) получаем: а₁ = 1; K_o = – R₂ / R ₁ ; b₂ = 1; b₁ = C₁R₂ и частота среза фильтра .

Задавшись коэффициентом передачи постоянного сигнала К_o, при известной ω_с можно найти элементы схемы:

C₁ ~ ; ;

Можно построить ФНЧ по неинвертирующему входу (Рис. 9.48)

Рис. 9.48 Фильтр НЧ первого порядка

Напряжение на выходе будет определяться как U₂ = μ (U₁ - U₃) и тогда выражение для коэффициента передачи такого звена будет:

Но, при таком построении фильтра на высоких частотах будет давать коэффициент пердачи Н(р) ≈ 1. Поэтому, при неинвертирующем включении чаще используют схему приведенную на рисунке 9.49.

Рис. 9.49 ФНЧ первого порядка

Используя метод узловых напряжений для узла 3 получим:

Решая эту систему относительно U₂/U₁ с учетом того, что μ→ ∞ получаем:

(9.24)

Сравнивая выражение (9.24) и (9.22) заключаем: а₁=1; К₀ = 1+R₃ / R₂ ; b₂ = 1; К₁ = 1; b₁ = C₁R₁ . Элементы рассчитываются следующим образом выбирается С₁ ≈ 10/f_c [мкФ]; ; ; ; . При К₀ = 1, , а .

Для получения передаточной функции фильтра верхних частот первого порядка, необходимо в выражении (9.22) параметр p заменить на 1/p. Тогда получим:

(9.25)

Схема активного фильтра верхних частот на инвертирующем ОУ может быть такой, Рис. 9.50.

Рис. 9.50 Активный фильтр ВЧ первого порядка

И его характеристика передачи будет иметь вид:

(9.26)

Сравнивая выражение (9.25) и (9.26) приходим к заключению: К_∞ = R₂ / R₁ ; ω_с = 1/ = C₁R₁ ; b₂ = C₁R₁ ; b₁ = 1; а₁ = C₁R₂. Элементы можно определить следующим образом С₁ ≈ 10/f_c [мкФ], R₁ = b₂/C₁, R₂ = a₁/C₁ или задавшись значением K_∞ .

Другая схема ФВЧ на неинвертирующем ОУ приведена на рис. 9.51.

Рис. 9.51 ФВЧ первого порядка

Записав напряжение для узла 3 по аналогии с вышеизложенным получим:

Сравнивая с выражением (9.25) приходим к следующим расчетным формулам для определения элементов схемы: С₁ ≈10/f_c [мкФ]; R₁ = а₁/C₁= b₂/C₁; ; ; . При К_∞ = 1, R₂ → ∞, R₃ = 0.