Переход от аналогового фильтра прототипа к цифровому фильтру

С помощью обобщенной преобразующей функции (см. формулу (9.15)) передаточную функцию низкочастотного прототипа можно непосредственно трансформировать в передаточную функцию цифрового фильтра. И далее приводя выражение передаточной функции ЦФ к виду, соответствующему выбранной форме реализации ЦФ, можно найти значения коэффициентов звеньев фильтра a_1i, a_2i, b_оi, b_1i, b_2i.

Однако такой путь связан с громоздкими математическими преобразованиями, особенно для ППФ и ПЗФ, порядок которых вдвое больше, чем у аналогового прототипа.

Более удобный путь основан на аналитической связи между коэффициентами ЦФ конкретной формы реализации и его нулями и полюсами, которые, в свою очередь, могут быть найдены через полюсы и нули аналогового фильтра прототипа.

Выражение для расчета полюсов и нулей ЦФ через полюсы и нули аналогового фильтра прототипа сведены в таблице 9.2, [1]:

Таблица 9.2

Тип фильтра	Преобразование	Примечания
ФНЧ	i = 1, 2, …, N.	При ωaоi = ∞ zоi = -1
ФВЧ	i = 1, 2, …, N.	Если ωaоi = ∞ zоi = -1
Тип фильтра	Преобразование	Примечания
ППФ	i = 1, 2, …, N.	Если ωaоi = ∞ zо, 2i-1 = ±1 zо, 2i = ±1
ПЗФ	i = 1, 2, …,N.	Если ωaоi = ∞

Передаточные функции звеньев второго порядка каскадной и параллельной форм реализации получают объединением в пары компексно-сопряженных полюсов фильтра и группированием их в случае каскадной формы с ближайшими по расположению на комплексной плоскости парами нулей.

Число звеньев (L) ЦФ определяется его порядком N: при четном порядке L= , при нечетном L = , но при этом одно звено имеет первый порядок и ему соответствуют вещественные значения нуля и полюса.

Порядок цифровых фильтров ФНЧ и ФВЧ совпадает с порядком аналогового фильтра прототипа, а ППФ и ПЗФ – в два раза больше – 2·N.

Коэффициенты b_оi, b_1i, b_2i, a_1i, a_2i звеньев находятся через нули и полюсы цифрового фильтра с помощью выражений (9.10 – 9.14), а они определяют передаточную функцию ЦФ для выбранной структуры реализации фильтра.