Эллиптический или фильтр Кауэра

Это фильтры объединяют в себе свойства фильтров Чебышева первого и второго рода, поскольку АЧХ такого фильтра имеет пульсации, заданного уровня, как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания, что позволяет получить высокую крутизну скатов АЧХ.

Функция передачи имеет как полюсы, так и нули. Нули, как и в случае Чебышева второго рода, являются чисто мнимыми и образуют комплексно-сопряженные пары. Количество нулей функции равно максимальному четному числу, но не превосходит порядок фильтра.

Для определения числа звеньев в фильтре необходимо определить ряд вспомогательных параметров: ε, k, k₁, k', k₁'.

Здесь ε – параметр определяющий пульсацию в полосе пропускания a_n = 10lg(1 + ε²); k и k₁ – модули полных эллиптических интегралов, которые изменяются в пределах от 0 до 1, а k' и k₁' – дополнительные модули от k и k₁ соответственно. Они могут быть определены следующим образом:

,

отсюда и служит мерой изменения характеристики фильтра в переходной полосе; а

Очевидно, что параметры ε, k и n связаны друг с другом и не могут быть выбраны произвольно. При этом число звеньев эллиптического фильтра находится по следующей формуле:

где F(k), F(k₁), F(k'), F(k₁') – полные эллиптические интегралы с соответствующими модулями.

Нули и полюса функции передачи эллиптического фильтра определяется так [6]:

,

для N – нечетного,

здесь sn(u, k) – эллиптический синус Якоби по модулю k;

i = 0, ±1, …, ±

,

для N – четного, для N – нечетного,

здесь эллиптический синус определяется от комплексного аргумента и параметр

Символ sn^-1(u,k) служит для обозначения обратного эллиптического синуса, а i = 0, ±1, ±2, ±…, ±

Для N – четного полюса определяются так:

где