Расчет теоретических частот

Границы интерваловхi; хi+1 Границы интервалов ui; ui+1
-∞; 500 -∞; -1,80 0,0360 0,0360 28,18
500; 1000 -1,80; -0,91 0,0360 0,1814 0,1454 113,85
1000; 1500 -0,91; -0,03 0,1814 0,4881 0,3067 240,15
1500; 2000 -0,03; 0,86 0,4881 0,8051 0,3170 248,21
2000; 2500 0,86; 1,74 0,8051 0,9591 0,1540 120,58
2500; ∞ 1,74; ∞ 0,9591 0,0409 32,02
  Итого - - -

 

Наглядно расхождение эмпирических и теоретических частот можно показать с помощью полигона (рис. 3).

 

Рисунок 2. Полигон теоретических и эмпирических частот

 

3 этап: проверка гипотезы о законе распределения.

Как бы хорошо ни был подобран теоретический закон распределения, между эмпирическим и теоретическим распределениями неизбежны расхождения. Закономерно возникает вопрос: объясняются ли эти расхождения только случайными обстоятельствами, связанными с ограниченным числом наблюдений, или они являются существенными и связаны с тем, теоретический закон распределения подобран неудачно. Для ответа на данный вопрос служат критерии согласия.

Пусть необходимо проверить нулевую гипотезу H0 о том, что исследуемая случайная величина X подчиняется определенному закону распределения. Для проверки гипотезы H0 выбирают некоторую случайную величину U, характеризующую степень расхождения теоретического и эмпирического распределений, закон распределения которой при достаточно больших n известен и практически не зависит от закона распределения случайной величины X.

Зная закон распределения U, можно найти вероятность того, что U приняла значение не меньше, чем фактически наблюдаемое в опыте u, т.е. . Если мала, то это означает в соответствии с принципом практической уверенности, что такие как в опыте, и бóльшие отклонения практически невозможны. В этом случае гипотезу H0 отвергают. Если же вероятность не мала, расхождение между эмпирическим и теоретическим распределениями несущественно и гипотезу H0 можно считать не противоречащей опытным данным.

Наиболее часто в практике статистических исследований используются критерии согласия К. Пирсона (хи-квадрат), В.И. Романовского, А.Н. Колмогорова, Б.С. Ястремского.

В χ2-критерий Пирсона в качестве меры расхождения U берется величина χ2, равная:

,

которая имеет χ2-распределение с степенями свободы, где m – число интервалов эмпирического распределения (вариационного ряда); r – число параметров теоретического распределения.

Схема применения χ2-критерия для проверки гипотезы H0 сводится к следующему:

1) определяется мера расхождения эмпирических и теоретических часто χ2;

2) для заданного уровня значимости α (как правило, принимается на уровне 0,05 или 0,01) по справочной таблице χ2-распределения находят критическое значение при числе степеней свободы ;

3) если расчетное значение χ2 больше критического , т.е. , то гипотеза H0 отвергается, если , то гипотеза H0 не противоречит опытным данным.

Примечание: статистика χ2 имеет χ2-распределение лишь при , поэтому необходимо, чтобы в каждом интервале было достаточное количество наблюдений, по крайней мере, не меньше 5. Если какой-либо интервал не удовлетворяет данному требованию, то имеет смысл объединить его с соседним таким образом, чтобы в объединенных интервалах . В данном случае параметр m при расчете числа степеней свободы уменьшается на число таких объединенных интервалов.

На практике кроме критерия χ2 часто используют критерий Колмогорова, в котором в качестве меры расхождения между теоретическим и эмпирическим распределениями рассматривают максимальное значение абсолютной величины разности между эмпирической и теоретической функциями распределения:

,

называемое статистикой критерия Колмогорова.

Схема применения критерия Колмогорова:

1) строятся эмпирическая функция распределения и предполагаемая теоретическая;

2) определяется мера расхождения между теоретическим и эмпирическим распределением D и вычисляется величина:

;

3) если вычисленное значение λ окажется не больше критического λα, определенного на уровне значимости α (λ0,05=1,36; λ0,01=1,63), то нулевая гипотеза H0 не противоречит опытным данным.

Примечание:применение критерия Колмогорова в принципе возможно лишь тогда, когда теоретическая функция распределения задана полностью. Однако такие случаи в практике встречаются редко. Обычно из теоретических соображений известен лишь вид функции распределения, а ее параметры определяются по эмпирическим данным. При применении критерия χ2 это обстоятельство учитывается соответствующим уменьшением числа степеней свободы. Такого рода поправок в критерии Колмогорова не предусмотрено. Поэтому, если при неизвестных значениях параметров применить критерий Колмогорова, взяв за значения параметров их оценки, вычисленные по выборке, то получим завышенное значение вероятности , и, следовательно, бóльшее критическое значение λα. В результате есть риск в ряде случаев принять нулевую гипотезу H0 о законе распределения случайной величины как правдоподобную, в то время как на самом деле она противоречит опытным данным.

Пример 7.7.По данным примеров 7.3 и 7.5 на уровне значимости α=0,05 проверить гипотезу H0 о том, что случайная величина Х – число поврежденных изделий, распределена по закону Пуассона.

Для определения статистики χ2 составим таблицу:

 

Таблица

Расчет χ2-критерия Пирсона

i xi = k ni
183,94 226,80 1,23
183,94 226,80 1,23
91,97 24,70 0,27
30,66 0,12 0,00
7,66 1,80 0,23
5 3 1,53    
1 5 0,26 1,83 10,05 5,49
0,04    
  8,45

 

При расчете χ2 объединяем последние три интервала для того, чтобы в объединенных интервалах частота была не менее 5 ( ).

Так как новое число интервалов (с учетом объединения трех последних) m = 6, а закон Пуассона определяется r = 1 параметром, то число степеней свободы . По таблице χ2-распределения определяем . Так как (8,45 < 9,49), то гипотеза H0 согласуется с опытными данными.

 

Пример 7.8.По данным примеров 7.4 и 7.6 на уровне значимости α=0,05 проверить гипотезу H0 о том, что случайная величина Х, распределена по нормальному закону.

Для определения статистики χ2 составим таблицу:

Таблица

Расчет χ2-критерия Пирсона

Границы интерваловхi; хi+1 Границы интерваловui; ui+1 ni
-∞; 500 -∞; -1,80 28,18 10,11 0,39
500; 1000 -1,80; -0,91 113,85 1,32 0,01
1000; 1500 -0,91; -0,03 240,15 8,12 0,03
1500; 2000 -0,03; 0,86 248,21 7,78 0,03
2000; 2500 0,86; 1,74 120,58 6,66 0,06
2500; ∞ 1,74; ∞ 32,02 1,04 0,03
  - 782,99 0,55

 

Число интервалов m = 6, а нормальный закон определяется r = 2 параметрами, то число степеней свободы . По таблице χ2-распределения определяем . Так как (0,55 < 7,82), то гипотеза H0 согласуется с опытными данными.

Проверим гипотезу о законе распределения также с помощью критерия Колмогорова. Для расчета значений функций распределения будем использовать следующую таблицу:

Таблица 8

Расчет величины D

хi ui
-2,68 0,0037 0,0037
-1,80 0,0360 0,0041
-0,91 0,1788 0,1814 0,0026
-0,03 0,4891 0,4880 0,0011
0,86 0,8097 0,8051 0,0046
1,74 0,9604 0,9591 0,0013
2,63 1,0000 0,9958 0,0042
  = 0,0046

 

.

Так как вычисленное значение λ не больше критического λα, определенного на уровне значимости α (λ0,05=1,36), то нулевая гипотеза H0 не противоречит опытным данным.

 






Дата добавления: 2017-05-02; просмотров: 3287; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.035 сек.