Определение числовой функции

Переменная величина y называется числовой функциейпеременной величины x, если каждому возможному числовому значению величины x ставится в соответствие по какому-нибудь правилу или закону единственное числовое значение величины y.

Обозначения: или или или или .

Здесь x — это независимая переменная, или аргумент;
y — это зависимая переменная, или функция;

переменные x и y связаны функциональной зависимостью f.

Если обозначить через

X – множество значений, которые может принимать переменная x,

Y – множество значений, которые принимает переменная y при ,

то функциональная зависимость между переменными x и y адает отображение числового множества X на числовое множество Y, при котором каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент множества Y , (рис. 40).

Рис. 40

В отличие от более общего определения функции как отображения множеств, состоящих из элементов любой природы, числовая функция задает отображение множества X, элементами которого являются числа, на множество Y, элементами которого тоже являются числа. Кроме того, далее будем считать, что множество Y — это есть множество значений функции, так что отображение является сюръекцией.

Множество X задания функции и множество Y значений функции для числовых функций традиционно называют областью определения функции (ООФ)и областью значений функции (ОЗФ).

Значение функции в точке

Если задано отображение множеств функцией , то элементы множеств X и Y называются точками. Символом обозначается при этом как сама функция, так и элемент , соответствующий элементу x при этой функциональной зависимости.

Если x₀ — это фиксированное значение аргумента x, то значение функции в точке x₀ обозначается следующими символами:

или или или .

Например, ;

, .

Сужение функции

Если есть функция и рассматривается некоторое подмножество Е множества Х, то отображение называется сужением функции f на множество Е.

Пример 1 (сужение функций)

1) , — это есть
сужение функции , на множество ;

2) любая последовательность есть сужение функции на множество натуральных чисел ;
например, – это есть сужение функции , на множество .

Наряду с понятием сужения функции существует и понятие расширенияфункции.

Например, 1) ; от этой функции можно перейти к её расширению на множество : ;

2) от функции можно перейти к её расширению на множество , если рассматривать её значения на множестве комплексных чисел, где возможно извлечение корня квадратного из отрицательного числа.