Явно или неявно заданные функции

Если формула, связывающая аргумент x и функцию y, имеет вид

,

то переменная y называется явно заданной функцией переменной x.

Например, явно заданными являются функции , .

Если формула, связывающая аргумент x и функцию у, записана в виде уравнения , то определяемая из этого уравнения переменная называется функцией, заданной неявно.

Пример (неявно заданные функции)

1) Уравнение задает неявно функцию ;

2) уравнение задает неявно функцию ;

3) уравнение задает неявно две функции ;

4) уравнение задает неявно бесконечное множество функций , .

Из примеров видно, что если уравнение удается решить относительно у, то осуществляется переход от неявно заданной функции к ее явному заданию . При этом часто получается многозначная функция, которую всегда можно рассматривать как совокупность однозначных функций (совокупность однозначных ветвей многозначной функции).

Например, ;

,

Однако на практике решить уравнение относительно переменной у получается далеко не всегда или это решение получается слишком громоздким. Например, уравнение нельзя решить относительно y. Поэтому в этих случаях приходится работать с функциями, имеющими только неявное задание.

Замечание (к неявному заданию функций)

В уравнении переменные x и y входят равноправно, поэтому можно считать, что это уравнение задает неявно функцию или функцию .

Например, .