Кинетическая энергия твердого тела.

В случае поступательного движениятвердого тела, обозначая через v скорость, одинаковую для всех точек тела, най­дем согласно формуле (3.85): , где через М обозначена масса тела. В случае вращения тела вокруг неподвижной оси Oz, обозначая угловую скорость через и расстояние элементарной массы от оси вращения через , имеем: , и формула (3.84 дает:

, (3.89)

где - момент инерции тела относительно оси вращения.

В случае плоского движения твердого тела относительным дви­жением по отношению к поступательно движущимся осям является вращение тела с его угловой скоростью . Поэтому, поместив начало поступательно движущейся системы в центр инерции тела С, можем применить для вычисления величины , входящей в выражение (3.88), только что полученную формулу (3.89):

где - момент инерции тела относительно оси, перпендикулярной к плоскости движения и проходящей через центр инерции. Эту формулу можно преобразовать к виду, более удобному для некоторых приложений. Напомним, что , где PC — расстояние между мгновенным центром скоростей Р и центром инерции С. Тогда получим

Так как мгновенный центр меняет в процессе движения свое положение, совпадая с различными точ­ками фигуры, то отрезок PC изменяет свою длину, зависящую от положения фи­гуры, т. е. не является постоянной величиной.

Переходим к вычислению кинетической энергии твёрдого тела. Удвоенное значение кинетической энергии твёрдого тела представляется интегралом . Подставив в эту формулу скорость точки твёрдого тела , после некоторых простых преобразований получим

(3.90)

Для вычисления последнего интеграла произведём преобразование подынтегрального выражения, рассматривая его как скалярно-векторное произведение трех векторов: , и ; произведя круговую перестановку сомножителей в нём и раскрывая при этом двойное векторное произведение, используем далее единичный тензор и формулу (3.39)

Подставляя этот результат в формулу (3.90), находим окончательное выражение для кинетической энергии твёрдого тела в самом общем случае движения