Основы теории оптимизации

На протяжении всей своей истории люди при необходимости принимать решения прибегали к сложным ритуалам. Они устраивали торжественные церемонии, приносили в жертву животных, гадали по звездам и следили за полетом птиц. Они полагались на народные приметы и старались следовать примитивным правилам, облегчающим им трудную задачу принятия решений. Ведь цена ошибки зачастую была очень велика. Так появилась астрология, нумерология, хиромантия и другие оккультные учения.

В настоящее время для принятия решения используют новый и, по-видимому, более научный «ритуал», основанный на применении компьютера. Без современных технических средств человеческий ум, вероятно, не может учесть многочисленные и разнообразные факторы и их связи, с которыми сталкиваются при управлении авиационным предприятием, конструировании, изготовлении и испытании воздушного судна или оптимизации регламентных работ. Существующие в настоящее время многочисленные методы оптимизации уже достаточно развиты, что позволяет эффективно использовать возможности цифровых и гибридных вычислительных машин.

Вообще, всю нашу осмысленную деятельность в любой сфере можно пояснить следующей простой схемой.

	Воздействие на вход
Законы природы	Система или изделие
	Выход
Дано	Найти	Название процесса
Система или изделие, воздействие на вход, законы природы	Выход	Анализ (прогнозирование и/или расчёт характеристик, поведения, последствий… во всех сферах деятельности)
Система или изделие, выход, законы природы	Воздействие на вход	Инверсный анализ (медицина, театр, расследование происшествий, планирование деятельности…)
Система или изделие, воздействие на вход, выход	Законы природы	Научные исследования
Воздействие на ход, выход, законы природы	Систему или изделие	Инженерное проектирование

Инженерное проектирование является на сегодняшний день интеллектуально самым трудным видом деятельности вне зависимости от объекта проектирования. В названии деятельности термин «инженерный» используется в его изначальном смысле, а именно: ingenium в переводе с латыни означает изобретение; то есть, «инженерный» означает «творческий, с элементами изобретательства», а инженер – это изобретатель. Равно как и термин «проект» происходит от латинского proectus – брошенный вперед; то есть, проект – это нечто такое, чего раньше не существовало.

Методологические аспекты проектирования привлекают внимание многих исследователей, поскольку осмысление этого процесса и выявление его закономерностей, возможно, дадут повышение эффективности результатов проектирования, каковыми являются организационно-технические системы и/или изделия. К сожалению, успехов в оптимизации самого процесса проектирования немного, однако сформулировано уже более двух десятков определений проектирования, из которых приведём только четыре.

1. Проектирование – это принятие решения в условиях неопределённости с тяжелыми последствиями в случае ошибки;- автор: Азимов.

2. Проектирование – это приведение изделия (системы) в соответствие с обстановкой при максимальном учёте всех требований; - автор: Грегори.

3. Проектирование – это вдохновенный прыжок от фактов настоящего к возможностям будущего; - автор: Пейдж.

4. Проектирование – это использование научных принципов, технической информации и воображения для определения … структуры машины или системы, предназначенной для выполнения заранее заданных функций с наибольшей экономичностью и эффективностью; - автор: Филден.

Эти определения неявно предполагают три вещи.

1. Цель проектирования известна, то есть мы знаем, по крайней мере, функции, которые должен выполнять проектируемый технический объект или система.

2. Эти функции невозможно удовлетворительно решить с помощью уже существующих технических объектов или систем.

3. Создаваемый новый объект или система должны быть оптимальными, то есть функции должны выполняться с максимально достижимой эффективностью.

На рис. 1 показаны этапы создания новой системы.

Уяснение цели

Формирование идеи

Инженерный анализ и оптимизация

Конкретизация решения

Строительство, ввод в действие

Рис. 1. Этапы создания системы или изделия

При решении организационно-технической задачи обычно бывает необходимо решить два ключевых вопроса.

1. Инженер должен предложить (выдумать, разработать) метод, схему или идею, которые лягут в основу функционирования новой системы и, по его мнению, отвечают поставленным требованиям.

2. Затем инженер должен количественно проанализировать свой метод, схему или идею, с тем, чтобы убедиться, что они могут удовлетворить поставленным требованиям при заданных ограничениях.

После положительных результатов второго этапа необходимо попытаться улучшить характеристики проектируемой системы, и здесь без оптимизации добиться желаемой эффективности может только гениальный или невероятно удачливый проектировщик.

Что же это такое - оптимальный проект, оптимальная система? Как оптимальность соотносится с другими свойствами изделия или организационно-технической системы, если таковые имеются?

Термин "оптимальный" сильно перегружен смысловым наполнением. В переводе с латинского он означает "наилучший" и корнями уходит к богинеОпе - богине плодородия и урожая у древнеиталийского племени сабинов [1]. Впоследствии богиня Опа стала женой бога времени Сатурна и матерью Юпитера. Она изображается держащей в одной руке рог изобилия мифических благ, а в другой весы, символизирующие измерение и принятие решения.

Когда употребляется слово "оптимальный", то в нем всегда подразумевается критерий, по которому данное техническое решение является наилучшим. Этот критерий может быть единственным свойством системы, а может быть целым комплексом свойств. И оптимальный означает наилучший по выбранному критерию объект.

Оптимальный по эффективности двигатель имеет (в идеале) коэффициент полезного действия равный единице; оптимальный идеальный самолет не требует затрат на обслуживание и переносит пассажиров по воздуху за нулевое время или с нулевыми затратами топлива в зависимости от принятого критерия; оптимальный выпускник Самарского государственного аэрокосмического университета трудные задачи решает немедленно, а невозможные - немного погодя.

В настоящее время методы оптимизации разделились на два больших класса: инженерные методы и методы математического программирования.

Инженерные методы оптимизации, или как их ещё называют, методы критериев оптимальности, имеют объектом проектирования в основном материальные изделия, которые обладают набором физических свойств, не зависящих от человеческих факторов. В них выявляются свойства оптимальных проектов, так называемые критерии оптимальности, и строятся итерационные процедуры направленного изменения параметров объекта, приводящие к достижению критериев оптимальности. При этом выполнение критериев оптимальности обеспечивает оптимальность объекта в целом.

Другой большой класс методов оптимизации представляют методы математического программирования. Они обладают необходимой общностью и применимы к любым организационно-техническим задачам.

Название «математическое программирование» предложено Робертом Дорфманом приблизительно в 1950г.; теперь оно объединяет линейное программирование, целочисленное программирование, динамическое программирование, выпуклое программирование, нелинейное программирование и программирование при наличии неопределенности. Причём «программирование» здесь не имеет ничего общего с реальным написанием кода программ, а должно читаться по сути своего содержания как «методы оптимизации».

Для технических задач наиболее применимо нелинейное программирование, которое имеет дело с оптимизацией нелинейных функций при линейных и/или нелинейных ограничениях. Типичными областями его применения являются прогнозирование, планирование промышленного производства, управление материальными ресурсами, контроль качества выпускаемой продукции, планирование обслуживания и ремонта, проектирование технологических линий (процессов), учет и планирование капиталовложений, а также проектирование агрегатов и технических систем. Пока еще не существует универсального метода решения нелинейных задач оптимизации, такого, как, например, симплексный алгоритм, разработанный для задач линейного программирования. Нелинейное программирование при решении задач включает в себя элементы экспериментирования и подбора наиболее эффективной процедуры отыскания экстремума, учитывающей специфику решаемой задачи.