Сила давления жидкости на сферические поверхности

Для того чтобы определить силу давления жидкости, действующую на стенку сферической формы, расположенную под поверхностью жидкости (рис. 2.12), будем находить проекции этой силы на три оси P_x, P_y, P_z и затем равнодействующую по формуле

Рис. 2.12

Сила давления на элементарную площадку dω, которую можно считать плоской, определится как

Учитывая то, что координата z – это глубина погружения площадки dω, разложим эту силу на проекции по осям:

где n – нормаль к сферической поверхности в месте расположения элементарной площадки dω.

Определим проекции элементарной площадки на координатные плоскости:

Значки-индексы при ω обозначают координатные плоскости, на которые проецируется площадка dω.

Подставляя эти выражения в формулы для dP_x, dP_y, dP_z,получим

Проинтегрируем по соответствующим проекциям сферической поверхности ω на координатные плоскости и получим

Здесь S_y и S_x – статические моменты площадей ω_yz и ω_xz относительно осей x и y соответственно (напомним, что );

h_C – глубина погружения центров тяжестей этих площадей;

W – объем, образованный сферической поверхностью и плоскостями координат, это тело давления для сферического случая.

В случае если ищем вертикальную составляющую давления на часть сферической поверхности, то объем W образуется заданной частью сферической поверхности и вертикальными образующими, проведенными через ее контур.

Закон Архимеда

Рассмотрим теперь погруженное в жидкость тело произвольной формы (рис. 2.13).

Рис. 2.13

Определим силы давления на него в проекциях на оси координат.

Горизонтальные составляющие силы давления на тело P_x будут одинаковы с обеих сторон тела, поскольку проекция его боковой криволинейной поверхности на вертикальную плоскость ω_yz, взятая справа и слева, будет одна и та же. Аналогично этому, будут одинаковы и горизонтальные составляющие P_y в направлении оси y (проекции поверхности на плоскость ω_xz). Значит, горизонтальные составляющие сил гидростатического давления взаимно уравновешиваются и не влияют на состояние погруженного тела.

Вертикальные же составляющие будут различны. Действительно, сила давления на нижнюю часть тела – P_z1 – действует на поверхность AnB, направлена вертикально вверх и равна

,

где W₁ – объем, ограниченный поверхностью ACDBn.

Сила давления на верхнюю часть тела P_z2, то есть на поверхность AmB, направлена вниз и равна

,

где W₂ – объем, ограниченный поверхностью ACDBm.

Результирующая вертикальная составляющая силы давления будет равна их разности:

,

(2.18)

где W – объем тела.

Полученная формула (2.18) выражает закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость, действует направленная вверх выталкивающая сила, равная весу жидкости, вытесненной этим телом.

Из закона Архимеда следует условие плавания тел:

· если вес тела больше выталкивающей силы , то тело тонет;

· при тело всплывает;

· когда тело находится во взвешенном состоянии.

Здесь следует сделать оговорку: поскольку сила давления действует по нормали к поверхности жидкости, то в случае, если тело (например, судно) плавает на поверхности потока жидкости, имеющего уклон , подъемная сила (сила давления) будет направлена не вертикально, а по нормали к свободной поверхности и будет равна весу вытесненного объема жидкости, умноженному на .

Еще одно интересное приложение – давление на дно тела, лежащего на дне и плотно соприкасающегося частью своей поверхности с дном (рис.2.14).

Рис. 2.14

Здесь учтем также наличие над поверхностью жидкости атмосферного давления p_aтм. Тогда для случая, изображенного на рис. 2.14, давление тела на дно водоема будет:

.

(2.19)

Здесь: ρ_т – плотность материала тела, ρ_в – плотность воды;

W₁и W₂ – объемы частей тела, нависающих над дном;

W₃ – объем средней части тела, опирающейся на дно;

W₄– объем столба воды над опирающейся частью тела;

ω – площадь соприкасания тела с дном.

Поправочный коэффициент K < 1 вводится потому, что соприкаса-ние обычно не является полным.

Полученное соотношение (2.19) будет приближенным, так как в действительности между телом и дном образуется пленка жидкости, и в ней могут возникнуть силы гидростатического давления на тело.