Частные случаи равновесия твёрдого тела

Теорема. Три силы уравновешивают твёрдое тело только в том случае, когда все они лежат в одной плоскости.

Доказательство.

Выберем за точку приведения точку на линии действия третьей силы. Тогда (рис.22)

Рис.22.

То есть плоскости S1 и S2 совпадают, причём для любой точки на оси силы , ч.т.д. (Проще: в плоскости только там же для уравновешивания).

Условия равновесия твёрдого тела с одной неподвижной точкой.

Центр приведения – закреплённая точка (рис.23):

Рис.23.

Моменты (условия равновесия):

Для определения реакций => результирующая:

; ; .

Условия равновесия твёрдого тела, способного вращаться вокруг неподвижной оси.

Рис.24.

Закреплены две точки О и О1. Центр приведения: точка О (рис.24).

; Rx, Ry, Rz в точке О; R`x, R`y, R`z в точке О1; ОО1 = h.

Уравнения равновесия:

Положение тела в пространстве определяется одним параметром, например, углом поворота , который определяется из последнего уравнения: . Остальные 5-ть уравнений => нахождение 6-ти проекций реакций связи => задача статически неопределимая. Требуются дополнительные условия деформирования (в сопротивлении материалов).

Условия равновесия твёрдого тела, способного перемещаться параллельно неподвижной плоскости (рис.25).

Рис.25.

Уравнения равновесия:

где , , – проекции активных сил, приложенных в точках ( , , ).

Два первых и последнее уравнения – необходимые условия равновесия. Три остальных => реакции, то есть только для закрепления в трёх точках. Иначе => статически неопределимая задача.

Случай опоры на три точки.

Для определения реакций имеем:

,

где ,

.

Решение имеется только при условии:

,

то есть три точки опоры не лежат на одной прямой. Иначе, статическая неопределимость.

Пример.

Рис.26.

Если дано, что опора упругая => .

Тогда для реакции:

(удобно взять начало координат в одной из опор).

Контрольные вопросы:

1. В каком случае три силы уравновешивают твёрдое тело?

2. Как выглядят условия равновесия тела с одной неподвижной точкой?

3. Напишите уравнения равновесия тела, способного вращаться вокруг неподвижной оси.