Естественные координаты

Рассмотрим систему координатных осей, определяемую траекторией точки (рис.36).

Рис.36.

.

Единичный вектор касательной к траектории (S – длина дуги М₀М):

, где .

Дифференцируя по S: ,

где - единичный вектор главной нормали; и направлен в сторону вогнутости;

кривизна. (k = 0 - прямая); - радиус кривизны.

Единичный вектор бинормали :

.

образуют правую тройку ортогональных единичных векторов. Они определяют направление естественных (натуральных) осей в том месте траектории, где находится движущаяся точка.

соприкасающаяся

Очевидно, проекция на ось : (может иметь разные знаки – зависит от направления S).

Для ускорения:

;

Но: ;

Очевидно, проекции ускорения на естественные оси:

на касательную: ;

на главную нормаль:

на бинормаль: 0

Таким образом, ускорение лежит в соприкасающейся плоскости (рис. 37).

Рис.37.

Задача.

Контрольные вопросы:

1. Какие основные отличия естественной системы координат от декартовой?

2. Назовите проекции скорости точки в естественных координатах.

3. Какова последовательность определения радиуса кривизны траектории точки?

Формула Эйлера

Найдём число координат, определяющих положение абсолютно твёрдого тела.

Определить положение тела => определить координаты точки относительно некоторой системы отсчёта в момент времени.

Рис.38.

Пусть Х₁ , Х₂ , Х₃ – неподвижные оси (рис. 38); орты: [декартова система].

, , - оси, жёстко связанные с телом; орты: , , - [декартова система].

Так как координаты точек относительно собственных осей , , не зависят от времени, то задача сводится к определению положения координатных осей, жёстко связанных с телом (подвижных), относительно неподвижных осей Х₁ , Х₂ , Х₃.

Составим таблицу косинусов углов между осями Х и :

- скалярное произведение.

Так как системы координат ортогональны, то

скалярное произведение: , где

Итак:

Число таких соотношений = 6 (Из 9 – ти в силу симметрии по jи k).

Имеем 6 соотношений для 9 косинусов =>

3 косинуса , не расположенные в одном столбце, или в одной строке, могут быть приняты за независимые, а остальные можем определить из составленных 6 – ти соотношений.

Кроме того => три координаты определяют положение точки О’ – начало системы , , .

Но 9 координат и 3 соотношения длин:

Это условия постоянства расстояний между точками в абсолютно твёрдом теле.

Выведем формулу Эйлера для распределения скоростей точек абсолютно твёрдого тела (рис. 39).

,

1) ,

- скорость точки О^’,

- скорость точки Q во вращательном движении тела (так как длина постоянна).

Так как координаты точки Qпостоянны, то

Тогда:

2) ,

где .

Скорость точки Q: .

3) Выразим и производные через направляющие косинусы :

.

Тогда: (в неподвижной системе).

4) Проекция на ось (k= 1,2,3):

.

Скорости точек во вращательном движении – линейные функции координат точек.

5) Получим более простую и наглядную форму закона распределения скоростей, используя свойства функции .

,

Дифференцируем по t:

.

По свойству производной от произведения:

при j= k => ,

при j≠ k=> .

Свойства:

а) симметрия по kи j;

б) при j= k=>равенство «0»;

в) размерность t^-1 , т. е. угловая скорость (угол в радианах), так как - скорость.

г) различных только три =>

Покажем, что

Действительно:

- по аналогии.

Итак:

или:

7) , где - единичные вектора, жёстко связанные с телом.

Положим - вектор, где

8) Тогда:

-Описывает распределение скоростей.

Назовём вектором мгновенной угловой скорости, а прямая на которой он располагается, в рассматриваемый момент времени, проходящую через точку О^’ – осью мгновенного вращения, или мгновенной осью.

Таким образом, закон распределения скоростей точек абсолютно твёрдого тела в любом движении:

.

Это формула Эйлера в векторной записи.

Контрольные вопросы:

1. Сколько координат определяют положение твёрдого тела в пространстве?

2. Что называется вектором мгновенной угловой скорости?

3. Напишите формулу Эйлера.