Пример расчета (задача № 3)

Для сечения, составленного из швеллера №20 а, равнобокого уголка (80´80´8)×10^-9 м³ и полосы (180´10)×10^-6 м² (рис. 3.6) требу­ется:

1. Найти общую площадь сечения;

2. Определить центр тяжести составного сечения;

3. Определить осевые и центробежный моменты инерции сече­ния относительно осей, проходящих через его центр тяжести;

4. Найти положение главных центральных осей инерции;

5. Определить величины главных центральных моментов инер­ции сечения и проверить правильность их вычисления;

6. Вычислить величины главных радиусов инерции.

Рис. 3.6

Решение

Из сортамента выписываем все необходимые геометрические характеристики для профилей, входящих в составное сечение. Швеллер № 20 а (ГОСТ 8240-72): h_шв = 0,2 м, b_шв = 0,08 м, F_шв = 25,2×10^-4м², = 1670×10^-8м⁴, = 139×10^-8м⁴, = 0,0228 м.

Уголок (80´80´8)×10^-9 м³ (ГОСТ 8509-72): b_уг = 0,08 м, F_уг = = 12,3×10^-4 м², = 73,4×10^-8 м⁴, = 116×10^-8 м⁴, =30,3×10^-8 м⁴, = 0,0227 м.

Полоса b_П×d_П = 18×1×10^-4 м², F_П = b_П×d_П = 18×1×10^-4 м² = 18×10^-4 м²;

м⁴, = 486×10^-8 м⁴.

1. Определение общей площади составного сече­ния. Общая площадь составного сечения определяется по фор­муле:

F = F_шв + F_уг + F_П, F = (25,2 + 12,3+18)×10^-4 = 55,5×10^-4 м².

2. Определить центр тяжести составного сече­ния. В качестве вспомогательных осей для определения положения центра тяжести примем горизонтальную и вертикальную оси x_шв и y_шв , проходящие через центр тяжести швеллера. Статические моменты площади всего сечения относительно этих осей будут равны:

Координаты центра тяжести вычисляем по формулам:

3. Определить осевые и центробежный моменты инерции сечения относительно осей, проходящих че­рез его центр тяжести. Для определения указанных момен­тов инерции составного сечения воспользуемся формулами, выра­жающими зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей:

(3.16)

(3.17)

(3.18)

В этих формулах расстояние между осями, проходящими через центр тяжести составного сечения, и осями, проходящими через центры тяжести каждой составной части фигуры, а и b (рис. 3.6), в рассматриваемом случае будут равны:

Подставив числовые значения величин в формулы (3.16) и (3.17), получим:

= [1670 + 25,2(-1,7)² + 73,4 + 12,3(-9,43)² + 1,5 + 18×(8,8)²]×10^-8 = = 4305,4×10^-8 м⁴.

= [139 + 25,2(1,42)² + 73,4 + 12,3(-3,13)² + 486 +18(0,14)²)×10^-8 = = 870,1×10^-8 м⁴.

При вычислении центробежного момента инерции составного сечения следует иметь в виду, что и равны 0, так как швеллер и полоса имеют оси симметрии, а

,

где a - угол между осью x и главной осью x₀ уголка. Этот угол может быть положительным или отрицатель­ным. В нашем примере a = +45°, поэтому:

Далее, подставив числовые значения в формулу (3.18), получим величину центробежного момента инерции составного сечения:

= [0 + 25,2 × (-1,7) × 1,42 + 42,85 + 12,3 × (-9,43) (-3,13) + 0 +

+ 18 × 8,8 × 0,14] ×10^-8 = 367,2×10^-8 м⁴.

4. Найти положение главных центральных осей инерции. Угол наклона главных осей инерции, проходящих через центр тяжести составного сечения, к центральным осям инерции x_C и y_C определим по формуле:

.

Так как угол a получился отрицательным, то для отыскания по­ложения главной оси максимального момента инерции u следует ось x₀, осевой момент инерции относительно которой имеет наи­большее значение, повернуть на угол a по ходу часовой стрелки. Вторая ось минимального момента инерции v будет перпендику­лярна оси u.

5. Определить величины главных центральных мо­ментов инерции сечения и проверить правильность их вычисления. Величины главных центральных моментов инерции составного сечения вычисляем по формуле:

Для контроля правильности вычисления величины моментов инерции составного сечения производим проверки.

1-ая проверка: I_max + I_min = = const;

I_max + I_min = (4344,55 + 830,95)×10^-8 = (5175,5)×10^-8 м⁴;

= (4305,4 + 870,1)×10^-8 = (5175,5)×10^-8 м⁴.

2-ая проверка: I_max > > > 0;

4344,55 ×10^-8 > 4305,4×10^-8 > 870,1×10^-8 > 830,95×10^-8 м⁴.

Проверки удовлетворяются, что говорит о правильности вычис­ления моментов инерции составного сечения.

6. Вычислить величины главных радиусов инерции. Величины главных радиусов инерции вычисляем по известным формулам:

КРУЧЕНИЕ

4.1. Кручение бруса с круглым поперечным
сечением

Здесь под кручением понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникает только крутящий момент. Прочие силовые факторы, т.е. N_z , Q_x , Q_y , M_x , M_y равны нулю.

Для крутящего момента, независимо от формы поперечного се­чения бруса, принято следующее правило знаков. Если наблюда­тель смотрит на поперечное сечение со стороны внешней нормали и видит момент M_z направленным по часовой стрелке, то момент считается положительным. При противоположном направлении моменту приписывается отрицательный знак.

При расчете бруса на кручение (вала) требуется решить две ос­новные задачи. Во-первых, необходимо определить напряжения, возникающие в брусе, и, во-вторых, надо найти угловые перемеще­ния сечений бруса в зависимости от величин внешних моментов.

Наиболее просто можно получить решение для вала с круглым поперечным сечением (рис. 4.1 а). Механизм деформирования бруса с круглым поперечным сечением можно представить в виде. Предполагая, что каждое поперечное сечение бруса в результате действия внешних моментов поворачивается в своей плоскости на некоторый угол как жесткое целое. Данное предположение, зало­женное в основу теории кручения, носит название гипотезы пло­ских сечений.

Рис. 4.1

Для построения эпюры крутящих моментов M_z применим тра­диционный метод сечений - на расстоянии z от начала координат рассечем брус на две части и правую отбросим (рис. 4.1, б). Для оставшейся части бруса, изображенной на рис. 4.1, б, составляя уравнение равенства нулю суммы крутящих моментов SM_z = 0, получим:

M_z = M. (4.1)

Поскольку сечение было выбрано произвольно, то можно сде­лать вывод, что уравнение (4.1) верно для любого сечения вала -крутящий момент M_z в данном случае постоянен по всей длине бруса.

Далее двумя поперечными сечениями, как это показано на рис. 4.1, а, из состава бруса выделим элемент длиной dz, а из него свою очередь двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами r и r + dr выделим элементарное кольцо, показанное на рис. 4.1, в. В результате кручения правое торцевое сечение кольца повернется на угол dj. При этом образующая цилиндра АВ повернется на угол g и займет положение АВ ¢. Дуга BВ ¢ равна с одной стороны, r dj, а с другой стороны - g dz. Следовательно,

. (4.2)

Если разрезать образовавшуюся фигуру по образующей и раз­вернуть (рис. 4.1, г), то можно видеть, что угол g представляет со­бой не что иное, как угол сдвига данной цилиндрической поверх­ности под действием касательных напряжений t, вызванных дейст­вием крутящего момента. Обозначая

, (4.3)

где Q - относительный угол закручивания. Этот угол представляет собой угол взаимного поворота двух сечений, отнесенный к рас­стоянию между ними. Величина Q аналогична относительному уд­линению при простом растяжении или сжатии стержня.

Из совместного рассмотрения (4.2) и (4.3) и после некоторых преобразований, получим:

g = r Q. (4.4)

Подставляя выражение (4.4) в выражение закона Гука для сдвига (2.23), в данном случае выражение касательных напряжений принимает следующий вид:

t = G Q r, (4.5)

где t - касательные напряжения в поперечном сечении бруса. Пар­ные им напряжения возникают в продольных плоскостях - в осе­вых сечениях. Величину крутящего момента M_z можно определить через t с помощью следующих рассуждений. Момент относительно оси z от дей­ствия касательных напряжений t на элементарной площадке dF равен (рис. 4.2):

dM = t r dF.

Рис. 4.2

Проинтегрировав это выражение по площади поперечного сечения вала, получим:

. (4.6)

Из совместного рассмотрения (4.5) и (4.6) получим:

. (4.7)

Откуда

. (4.8)

Величина G I_r называется жесткостью бруса при кручении.

Из (4.8), с учетом (4.3), интегрируя полученное выражение по параметру z, получим:

. (4.9)

Если крутящий момент M_z и жесткость G I_r по длине бруса пос­тоянны, то из (4.9) получим:

, (4.10)

где j (0) - угол закручивания сечения в начале системы отсчета.

Для определения выражения напряжений, возвращаясь к формуле (4.5) и исключая из него q, согласно (4.8), получим:

t (r)= . (4.11)

Величина называется полярным моментом сопротивления поперечного сечения бруса в форме сплошного круга радиусом R. Определяется эта величина из следующих соображений:

(4.12)

Если же в брусе имеется внутренняя центральная полость ра­диусом r = , то для кольца

, (4.13)

где с = .

4.2. Кручение бруса с некруглым
поперечным сечением

Определение напряжений в брусе с некруглым поперечным се­чением представляет собой сложную задачу, которая не может быть решена методами сопротивления материалов. Причина заключается в том, что для некруглого поперечного сечения упрощающая гипо­теза плоских сечений, оказывается неприемлимой. В данном случае поперечные сечения существенно искривляются, в результате чего заметно меняется картина распределения напряжений.

Таким образом, при определении углов сдвига, в данном слу­чае, необходимо учитывать не только взаимный поворот сечений, но и деформации сечений в своей плоскости, связанная с искрив­лением сечений.

Задача резко усложняется тем, что для некруглого сечения, на­пряжения должны определяться как функции уже не одного неза­висимого переменного r, а двух - x и y.

Отметим некоторые особенности законов распределения напря­жений в поперечных сече­ниях некруглой формы. Ес­ли поперечное сечение име­ет внешние углы, то в них касательные напряжения должны обращаться в нуль. Если наружная поверхность бруса при кручении свобод­на, то касательные напряже­ния в поперечном сечении, направленные по нормали к контуру также будут равны нулю.

Рис. 4.3

На рис. 4.3 показана, по­лученная методом теории упругости, эпюра касатель­ных напряжений для бруса прямоугольного сечения. В углах, как видно, напряже­ния равны нулю, а наиболь­шие их значения возникают по серединам больших сторон:

в точке А t_A = t_max = , (4.14)

где W_К = b b³ - аналог полярного момента сопротивления попереч­ного сечения прямоугольного бруса;

в точке В t_B = h t_max , (4.15)

здесь необходимо учесть, что b - малая сторона прямоугольника.

Значения угла закручивания определяется по формуле:

, (4.16)

где I_K = a b⁴ - аналог полярного момента инерции поперечного сечения бруса.

Коэффициенты a, b и h зависят от отношения сторон m = h/b, и их значения приведены в табл. 3.

Таблица 3

Геометрические характеристикинаиболее представительных форм сечений обобщены в табл. 4.