Моменты инерции сечения
Рис. 3.3 |
В дополнение к статическим моментам в системе координат x0y (рис. 3.1)рассмотрим три интегральных выражения:
(3.7)
Первые два интегральных выражения называются осевыми моментами инерции относительно осей x и y, а третье - центробежным моментом инерции сечения относительно осей x, y.
Для сечений, состоящих из n-числа областей (рис. 3.3), формулы (3.7) по аналогии с (3.6) будут иметь вид:
Рассмотрим, как изменяются моменты инерции сечения при параллельном переносе координатных осей x и y (см. рис. 3.2). Преобразуя формулы (3.7) с учетом выражения (3.2), получим :
(3.8)
Если предположить, что оси x1 и y1 (см. рис. 3.2) являются центральными, тогда и выражения (3.8) упрощаются и принимают вид:
(3.9)
Рис. 3.4 |
Определим осевые моменты инерции прямоугольника относительно осей x и y , проходящих через его центр тяжести (рис. 3.4). В качестве элементарной площадки dF возьмем полоску шириной b и высотой dy (рис. 3.4). Тогда будем иметь:
Аналогичным образом можно установить, что .
Для систем, рассматриваемых в полярной системе координат (рис. 3.5, а), вводится также полярный момент инерции:
.
где r - радиус-вектор точки тела в заданной полярной системе координат.
Рис. 3.5
Вычислим полярный момент инерции круга радиуса R. На рис. 3.5, a показана элементарная площадка, очерченная двумя радиусами и двумя концентрическими поверхностями, площадью
dF = r dr dj .
Интегрирование по площади заменим двойным интегрированием:
.
Hайдем зависимость между полярным и осевыми моментами инерции для круга. Из геометрии видно (рис. 3.5, б), что
r2 = x2 + y2,
следовательно,
.
Так как оси x и y для круга равнозначны, то Ix = Iy = .
Полярный момент инерции кольца может быть найден как разность моментов инерции двух кругов: наружного (радиусом R) и внутреннего (радиусом r):
.
Дата добавления: 2017-03-12; просмотров: 1367;