Теплопроводность. Уравнение теплопроводности

Теплопроводность - это один из видов теплопередачи. Передача тепла может осуществляться с помощью различных механизмов.

Все тела излучают электромагнитные волны. При комнатной температуре это в основном излучение инфракрасного диапазона. Так происходит лучистый теплообмен.

При наличии поля тяжести еще одним механизмом теплопередачи в текучих средах может служить конвекция. Если к сосуду, содержащему жидкость или газ, тепло подводится через днище, в первую очередь прогреваются нижние порции вещества, их плотность уменьшается, они всплывают вверх и отдают часть полученного тепла верхним слоям.

При теплопроводности перенос энергии осуществляется в результате непосредственной передачи энергии от частиц (молекул, атомов, электронов), обладающих большей энергией, частицам с меньшей энергией.

В нашем курсе будет рассматриваться передача теплоты путем теплопроводности.

Рассмотрим сначала одномерный случай, когда температура зависит только от одной координаты х. Пусть две среды разделены плоской перегородкой толщины l (рис. 23.1). Температуры сред Т₁ и Т₂ поддерживаются постоянными. Опытным путем можно установить, что количество тепла Q, переданное через участок перегородки площадью S за время t равно

, (23.1)

где коэффициент пропорциональности k зависит от материала стенки.

При Т₁ > Т₂ тепло переносится в положительном направлении оси х, при Т₁ < Т₂ – в отрицательном. Направление распространения тепла можно учесть, если в уравнении (23.1) заменить (Т₁ - Т₂)/l на (- dT/dx). В одномерном случае производная dT/dx представляет собой градиент температуры. Напомним, что градиент – это вектор, направление которого совпадает с направлением наиболее быстрого возрастания скалярной функции координат (в нашем случае Т), а модуль равен отношению приращения функции при малом смещении в этом направлении к расстоянию, на котором это приращение произошло.

Чтобы придать уравнениям, описывающим перенос тепла, более общий и универсальный вид, ведем в рассмотрение плотность потока тепла j - количество тепла, переносимое через единицу площади в единицу времени

. (23.2)

Тогда соотношение (23.1) можно записать в виде

. (23.3)

Здесь знак «минус» отражает тот факт, что направление теплового потока противоположно направлению градиента температуры (направлению ее возрастания). Таким образом, плотность потока тепла является векторной величиной. Вектор плотности потока тепла направлен в сторону уменьшения температуры.

Если температура среды зависит от всех трех координат, то соотношение (23.3) принимает вид

, (23.4)

где , - градиент температуры (е₁, е₂, е₃ - орты осей координат).

Соотношения (23.3) и (23.4) представляют основной закон теплопроводности (закон Фурье): плотность потока тепла пропорциональна градиенту температуры. Коэффициент пропорциональности k называется коэффициентом теплопроводности (или просто теплопроводностью). Т.к. размерность плотности потока тепла [j] = Дж/(м²с), а градиента температуры [dT/dx] = К/м, то размерность коэффициента теплопроводности [k] = Дж/(м×с×К).

В общем случае температура в различных точках неравномерно нагретого вещества меняется с течением времени. Рассмотрим одномерный случай, когда температура зависит только от одной пространственной координаты х и времени t,и получим уравнение теплопроводности - дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция T = T(x,t).

Выделим мысленно в среде малый элемент объема в виде цилиндра или призмы, образующие которого параллельны оси х, а основания перпендикулярны (рис 23.2). Площадь основания S, а высота dx. Масса этого объема dm = rSdx, а его теплоемкость c×dm где r - плотность вещества, с - удельная теплоемкость. Пусть за малый промежуток времени dt температура в этом объеме изменилась на dT. Для этого вещество в объеме должно получить количество тепла, равное произведению его теплоемкости на изменение температуры: . С другой стороны, dQ можно может поступить в объем только через основания цилиндра: (плотности потоков тепла j могут быть как положительными, так и отрицательными). Приравнивая выражения для dQ, получим

.

Заменяя отношения малых приращений соответствующими производными, придем к соотношению

. (23.5)

Подставим в формулу (23.5) выражение (23.3) для плотности потока тепла

. (23.6)

Полученное уравнение называется уравнением теплопроводности. Если среда однородна, и теплопроводность k не зависит от температуры, уравнение принимает вид

, (23.7)

или

, (23.8)

где постоянная называется коэффициентом температуропроводности среды.

Уравнениям (23.6) – (23.8) удовлетворяет бесчисленное множество функций T = T(x,t).

Для выделения единственного решения уравнения теплопроводности необходимо к уравнению присоединить начальные и граничные условия.

Начальное условие состоит в задании распределения температуры в среде Т(х,0) в начальный момент времени t = 0.

Граничные условия могут быть различными в зависимости от температурного режима на границах. Чаще всего встречаются ситуации, когда на границах заданы температура или плотность потока тепла как функции времени.

В ряде случаев в среде могут оказаться источники тепла. Теплота может выделяться в результате прохождения электрического тока, химических или ядерных реакций. Наличие источников тепла можно учесть введением объемной плотности энерговыделения q(x,y,z), равной количеству теплоты, выделяемому источниками в единице объема среды за единицу времени. В этом случае в правой части уравнения (23.5) появится слагаемое q:

.

В соответствии с этим изменятся и остальные уравнения.