Выравнивание температур. Внешняя теплопередача

Рассмотрим простейшую нестационарную задачу о выравнивании температур двух тел, которые находятся в тепловом контакте друг с другом. Начальные температуры Т₁₀ и Т₂₀. Для определенности будем считать, что Т₁₀ > Т₂₀.

Сделаем некоторые упрощающие предположения.

Будем считать, что теплообменом с окружающей средой можно пренебречь. Пусть, например, эти тела находятся в теплоизолирующей оболочке, а контакт между ними осуществляется через теплопроводящую перегородку толщины l и площади S (рис.25.1). При этом теплопроводности тел значительно превышают теплопроводность перегородки k, так что перепад температур внутри тел можно считать пренебрежимо малым. Поэтому в каждый момент времени t можно говорить о определенных температурах T₁(t) и T₂(t), характеризующих тела 1 и 2 в целом. Допустим еще, что теплоемкость перегородки пренебрежимо мала по сравнению с теплоемкостями тел С₁ и С₂. Тогда можно отвлечься от рассмотрения процессов установления потока теплоты через перегородку и считать, что количество тепла dQ, переносимое через нее за время dt определяется законом Фурье

. (25.1)

Количество тепла dQ, переданное от первого тела второму за время dt может быть выражено через изменения температур тел dT₁ и dT₂:

. (25.2)

Соотношения (25.1-2) приводят к уравнениям:

(25.3)

Обозначим буквой q разность температур тел

.

Тогда

Разделим первое уравнение (25.3) на С₁, а второе на С_2, и вычтем второе из первого. Получим

(25.4)

Введем обозначение

Постоянная t имеет размерность времени. Тогда уравнение (25.4) можно записать в виде

Интегрируя, получим

, (25.5)

где начальная разность температур.

Заметим, что из соотношения (25.2) следует

. (25.6)

Решая систему уравнений (25.5-6), можно найти зависимости T₁(t) и T₂(t)

(25.7)