Простейшие стационарные задачи теории теплопроводности

В стационарных задачах теории теплопроводности рассматриваются ситуации, когда распределение температуры в системе не меняется с течением времени.

1. Найдем распределение температуры в протяженной плоской пластине толщины l вдали от ее краев. Поверхности пластины поддерживаются при постоянных температурах Т₁ и Т₂ (рис. 24.1). Начало координат поместим на плоскости, ограничивающей пластинку слева. Ось х перпендикулярна пластине.

В стационарном случае температура в точках пластинки зависит только от координаты х и не зависит от времени. Тогда , и из уравнения (23.5) следует , т.е. плотность потока тепла постоянна. Вывод о постоянстве плотности потока тепла можно сделать и без ссылки на уравнение теплопроводности (23.5). Выделим мысленно внутри пластинки элемент объема в виде цилиндра или призмы, образующие которого параллельны оси х, а основания перпендикулярны. Так как температура внутри пластинки не меняется со временем, количество тепла, поступившего в этот объем в единицу времени, должно быть равно вышедшему количеству тепла. Значит, плотности потока тепла на основаниях выбранного объема должны быть одинаковы. Поэтому

.

Если пластинка однородна и k не зависит от температуры . Обозначая константу буквой А и интегрируя, получим

,

где В – еще одна постоянная интегрирования. Постоянные А и В можно найти из граничных условий. При х = 0 температура Т(0) = Т₁, а при х = l T(l) = T₂. Эти условия приводят к системе уравнений

T₁ = B,

T₂ = Al + B.

Определив из нее постоянные А и В, найдем распределение температуры:

.

2. Найдем стационарное распределение температуры T(r) между двумя коаксиальными (имеющими общую ось) бесконечно длинными цилиндрами (рис. 24.2). Радиус внутреннего цилиндра обозначим R₁, внешнего – R₂. Пространство между цилиндрами заполнено однородным веществом. Температуры цилиндров поддерживаются постоянными и равными соответственно Т₁ и Т₂. Для определенности будем считать, что Т₁ > Т₂. Из симметрии рассматриваемой задачи следует, что во всех точках цилиндрической поверхности радиуса r (R₁ < r < R₂) температура одинакова. Градиент температуры dT/dr, а значит и вектор плотности потока тепла jнаправлены вдоль радиуса.

В установившемся режиме температура вещества в пространстве между цилиндрами не меняется со временем. Поэтому количества теплоты, проходящие в единицу времени через поверхности внутреннего и внешнего цилиндров, а также и через любую цилиндрическую поверхность между ними, должны быть одинаковы.

Учитывая, что площадь боковой поверхности цилиндра пропорциональна его радиусу r, последнее условие можно записать в виде:

.

Если можно пренебречь зависимостью коэффициента теплопроводности k от температуры, его можно внести в константу. Обозначая постоянную буквой А, получим

или .

После интегрирования имеем

, (24.1)

где В - константа интегрирования.

Как и в предыдущем случае, константы А и В определяем из граничных условий.

Решая эту систему, получим

После подстановки в (24.1) найдем распределение температуры T(r) в пространстве между цилиндрами

3. Рассмотрим задачу, в которой присутствуют источники тепла.

Найдем распределение температуры T(r) внутри шара радиуса R, в котором в результате какого-либо процесса (например, радиоактивного распада) происходит выделение тепла (рис.24.3). Количество тепла, выделяющееся в единицу времени в единице объема обозначим q. Будем считать, что q одинаково по всему объему и не меняется со временем. Теплопроводность вещества шара k. Температура Т₀ на поверхности шара поддерживается постоянной.

В установившемся режиме температура внутри шара перестанет зависеть от времени. Тогда количество тепла, которое выделяется в единицу времени внутри сферической поверхности радиуса r должно быть равно количеству тепла, проходящему в единицу времени через эту поверхность

Проведя сокращения и разделив переменные, придем к уравнению

Интегрируя, получим

,

где В – постоянная интегрирования. Ее определим из граничного условия T(R) = T₀.

Окончательно получим

Температура в центре шара