Двумерные преобразования координат

Преобразование координат графических объектов используется с целью модификации, зеркального отображения и перемещения объекта. Основные случаи :

- преобразование системы координат, например, из полярной в декартову,

- изображение типовых или повторяющихся деталей объекта,

- построение проекций трехмерных объектов,

- направленная деформация при синтезе новых форм,

- мультипликация и создание узоров.

Различают двумерные ( 2D ) и трехмерные ( 3D) преобразования. Рассмотрим двумерные аффинные преобразования, когда в получаемом новом изображении объекта сохраняется прямолинейность и параллельность прямых, а также деление отрезков в заданных соотношениях.

Общий вид формул двумерных аффинных преобразований:

x₁= a₁₁ x + a₁₂ y + a₁₃ или в x₁a₁₁ a₁₂ a₁₃ x

матричном y₁= a₂₁ a₂₂ a₂₃ * y

y₁= a₂₁ x + a₂₂ y + a₂₃ виде: z₁ 0 0 1z

Здесь x, y - координаты исходного, а x₁, y₁ - преобразованного объекта.

Коэффициенты преобразований a _{I J} сохраняют в виде матрицы, расширенной до квадратной, - при для вычисления коэффициентов составного преобразования перемножают соответствующие матрицы коэффициентов типовых преобразований.

Примеры типовых преобразований и соответствующие им матрицы:

( Ф - исходная фигура, Ф₁ - преобразованная )

Y

dx Ф₁ Параллельный 1 0 dx

dy перенос 0 1 dy

Ф 0 0 1

X

Y

Ф₁ Масштабирование Sx 0 0

Sx = x₁/x; Sy = y₁/y 0 Sy 0

Ф 0 0 1

X

Y

Ф₁

Поворот относительно cos a -sin a 0

начала координат sin a cos a 0

Ф 0 0 1

a

X

Зеркальное отображение:

Y

Ф₁ cos(2*A) sin(2*A) 0

относительно оси Y=Х sin(2*A) - cos(2*a) 0

Ф проходящей под углом “A” 0 0 1

₀ X

Ф₁ относительно начала -1 0 0

координат 0 -1 0

0 0 1

Y

Y₁

a Ф₁

Деформация сдвига : 1 tg(a) 0

Ф X₁ в направлении X - a tg(b) 1 0

в направлении Y - b 0 0 1

b

X

Составные преобразования обычно представляют в виде комбинаций типовых преобразований. Например, поворот относительно произвольной точки ( Xc, Yc) можно представить как комбинацию трех преобразований:

- параллельный перенос, переводящий центр поворота в начало координат,

- поворот относительно начала координат,

- параллельный перенос, противоположный первоначальному.

Перемножение матриц выполняется следующим образом:

a₁₁ a₁₂ a₁₃ b₁₁ b₁₂ b₁₃ c₁₁ c₁₂ c₁₃

a₂₁ a₂₂ a₂₃ * b₂₁ b₂₂ b₂₃ = c₂₁ c₂₂ c₂₃

a₃₁ a₃₂ a₃₃ b₃₁ b₃₂ b₃₃ c₃₁ c₃₂ c₃₃

где c_{I J} = a_{I 1}* b_{1 J} + a_{I 2}* b_{2 J} + a_{I 3}* b_{J 3} , i= 1, 2, 3; j= 1, 2, 3.

то есть элемент матрицы “C”, расположенный в I-строке и J-столбце, равен сумме произведений элементов I -ой строки матрицы “A“ на соответствующие элементы J-го столбца матрицы B.

В приведенной ниже программе плоская фигура задается в виде линий, последовательно соединяющих координаты массива точек (xa, ya) на чертеже ( x, y - в системе координат экрана ). Эти координаты подвергаются аффинным преобразованиям, коэффициенты преобразования хранятся в двумерном массиве r. Начальному положению фигуры соответствует единичная матрица R (единицы на главной диагонали, остальные члены - нули). При очередном преобразовании коэффициенты матрицы R пересчитываются путем умножения на нее матрицы этого преобразования (А), получаемая матрица (В) снова записывается в R. Новые координаты x, y высчитываются в процедуре NEW_XY, которая вызывается непосредственно при выводе фигуры на экран процедурой PICTURE.

uses Graph, Crt;{------- Аффинные преобразования плоских фигур -------- }

var Gd,Gm,n,i,j,k,l,m,xc,yc,xc1,yc1: integer;{-- описание --}

{ глобальных переменных}

xa, ya: array[1..50] of real;{ исходные координаты фигуры }

x, y : array[1..50] of integer;{ новые координаты фигуры }

a, b, r: array[1..3, 1..3] of real; { массивы коэффициентов матриц 3*3 }

PROCEDURE I_R; {-------- присвоение матрице R значения единичной ---------}

Begin

for i:=1 to 3 do begin { 1 0 0 }

for j:=1 to 3 do r[i, j]:=0; { 0 1 0 }

r[i, i]:=1; end; { 0 0 1 }

end;

PROCEDURE MULT; {---------- умножение матриц А и R: R = B = A*R ------------}

var z: real;

Begin

for i:=1 to 3 do

for j:=1 to 3 do begin z:=0;

for k:=1 to 3 do z:=z+a[i,k]*r[k,j];

b[i,j]:=z end;

for i:=1 to 3 do

for j:=1 to 3 do r[i,j]:=b[i,j] end;

PROCEDURE MOVE(dx,dy:real); {----расчет матриц А и R для переноса фигуры ---}

begin { ---на dx, dy--- }

for i:=1 to 3 do begin { 1 0 dx }

for j:=1 to 3 do a[i,j]:=0; { 0 1 dy }

a[i,i]:=1 end; { 0 0 1 }

a[1,3]:=dx; a[2,3]:=dy;

MULT; end;

PROCEDURE SCALE(sx,sy:real); {-расчет матриц А и R для масштабирования ----}

begin{--фигуры: по оси Х - умножение на sx, по оси Y - на sy --}

for i:=1 to 3 do

for j:=1 to 3 do a[i,j]:=0; { sx 0 0 }

a[1,1]:=sx; { 0 sy 0 }

a[2,2]:=sy; a[3, 3]:=1; { 0 0 1 }

MULT; end;

PROCEDURE ROTATE(alfa: real);{- расчет матриц А и R для поворота фигуры--}

var c, s: real; {---на угол alfa(рад)---}

begin { cos(alfa) -sin(alfa) 0 }

for i:=1 to 3 do { sin(alfa) cos(alfa) 0 }

for j:=1 to 3 do a[i,j]:=0; { 0 0 1 }

a[3,3]:=1;

c:=cos(alfa); a[1,1]:= c; a[2,2]:=c;

s:=sin(alfa); a[1,2]:=-s; a[2,1]:=s;

MULT; end;

PROCEDURE MIRROR(alfa: real);{---- расчет матриц А и R для зеркального ----}

var c, s: real; {----отражения объекта на угол alfa(рад)--}

begin { cos(2*alfa) sin(2*alfa) 0 }

for i:=1 to 3 do { sin(2*alfa) -cos(2*alfa) 0 }

for j:=1 to 3 do a[i,j]:=0; { 0 0 1 }

a[3,3]:=1;

c:=cos(2*alfa); a[1,1]:=c; a[2,2]:=-c;

s:=sin(2*alfa); a[1,2]:=s; a[2,1]:=s;

MULT; end;

PROCEDURE AXES(alfa,beta:real); {расчет матриц А и R сдвига осей координат }

{--- ось x смещается на угол alfa, ось y - на угол beta --}

Begin

for i:=1 to 3 do begin { 1 tg(beta) 0 }

for j:=1 to 3 do a[i,j]:=0; { tg(alfa) 1 0 }

a[i,i]:=1 end; { 0 0 1 }

a[1,2]:=sin(beta)/cos(beta);

a[2,1]:=sin(alfa)/cos(alfa); MULT;

end;

PROCEDURE NEW_XY; {---- расчет новых координат фигуры по исходным ------ }

begin{----- с использованием матрицы преобразования R ------}

for i:=1 to n do begin

x[i]:=round( xa[i]*r[1, 1]+ ya[i]*r[1, 2]+ r[1, 3] );

y[i]:=round( xa[i]*r[2, 1]+ ya[i]*r[2, 2]+ r[2, 3] ) end;

end;

PROCEDURE PICTURE;{--- рисование фигуры по координатам X, Y --- }

begin moveto(x[n], y[n]);

for i:=1 to n do lineto(x[i], y[i]);

end;

PROCEDURE ROT_XY(xc,yc,beta:real);{- поворот фигуры вокруг точки ( хс, ус)--}

begin{-- на угол beta --}

MOVE(-xc, -yc); { Смещение центра поворота в центр начала координат }

ROTATE(beta); { поворот относительно начала координат }

MOVE(xc, yc);{ обратное смещение фигуры }

end;

{------примеры аффинных преобразований исходной фигуры ------}

Var alfa: real;

BEGIN n:=4;{ число вершин фигуры }

m:=12;{ число зеркальных отображений фигуры }

xc:=5; yc:=5;{"центр" фигуры}

xa[1]:=5; ya[1]:=5;{ координаты вершин фигуры на чертеже }

xa[2]:=70; ya[2]:=20;

xa[3]:=15; ya[3]:=55; 0 X

xa[4]:=20; ya[4]:=20;

Gd:= Detect;

InitGraph(Gd, Gm, 'C:\tp7\bgi'); Y

xc1:=GetMaxX div 2; yc1:=GetMaxY div 2;{ центр экрана }

I_R; NEW_XY;{ исходные координаты фигуры }

SetWriteMode(1);

{-------------- Вращение вокруг смещающегося центра -----------}

for l:=1 to 150 do begin

PICTURE;

xc:=xc+3; yc:=yc+2; putpixel(xc, yc, 12);{ смещение центра xc, yc }

MOVE(3,2); { перенос фигуры соответственно смещению центра }

ROT_XY(xc, yc, -0.3);{ поворот на 0.3 рад относительно xc, yc }

delay(2); PICTURE; NEW_XY;

end;

readln; ClearDevice;

SetWriteMode(0);

{--------- Зеркальные отображения фигуры -------------}

I_R; PICTURE;

for i:=1 to n do begin

xa[i]:=x[i]; ya[i]:=y[i] end; {задание исходных координат фигуры}

for l:=1 to m do begin alfa:=2*Pi*(l-1)/m;{угол наклона зеркала к оси X}

{ Line(xc1-round(xc1*cos(alfa)), yc1-round(xc1*sin(alfa)),

xc1+round(xc1*cos(alfa)), yc1+round(xc1*sin(alfa)));{линия зеркала}

MOVE(-xc1,-yc1); MIRROR(alfa); MOVE(xc1,yc1); { преобразования}

NEW_XY; PICTURE;{ расчет и рисование новых координат фигуры}

end;

readln;

CloseGraph;

END.

В первой части программы фигура вращается вокруг точки, перемещающейся по диагонали экрана. Во второй части программы фигура последовательно отображается вокруг осей, проходящих через центр экрана.