Примеры расчета статически неопределимой рамы методом

Перемещений

Пример 2.1. Построить эпюры внутренних усилий для рамы, показанной на рисунке 2,10, а.

Решение.

1 Проводим кинематический анализ стержневой системы. Степень статической неопределимости W = 3∙1 - 2∙0 – 7 = - 4, степень кинематической неопределимости n = n_у + n_л = 1 + 0 = 1.

2 Выбираем основную систему метода перемещений (рис. 2.10, б).

3 Записываем каноническое уравнение метода перемещений

Z₁r₁₁ + R_1p = 0.

4 Для определения единичной r₁₁ и грузовой R_1P реакций строим единичную (рисунок 2.11,а) и грузовую (рисунок 2.11,в) эпюры, пользуясь Таблицей реакции (Приложение В). На рисунках 2.10,в и 2.11,б показаны единичное и грузовое состояния.

5 Рассматривая равновесие узлов (рисунок 2.12), имея ввиду уравнение

∑m = 0, определяем значения реакций.

r₁₁ = 2EI + 2EI + EI = 5EI,

R_1p = 4P/8 = 5 кН.

6 Решаем каноническое уравнение и определяем значение неизвестного. Напомним, что это угол поворота жесткого узла.

7 Строим эпюру М₁, как: М₁ = ×Х₁ (рисунок 2.13, а)и, далее, строим результирующую эпюру М, в виде суммы М = М₁ + М_Р (рисунок 2.13, б). Проводим проверку равновесия жесткого узла.

Статическая проверка узла

8 Путем графического дифференцирования строим эпюру Q и, рассматривая равновесие узла, определяем и строим эпюру N (рисунок 2.15).

9 Выполняем статическую проверку рамы в целом (рисунок 2.16).

- 2,31 + 10 -2,31 – 5,375 = 10 – 9,995 ≈ 0,

Уравнения равновесия выполняются.

Пример 2.2Построить эпюры внутренних усилий для рамы, показанной на рисунок 2.17,а.

Решение.

Порядок расчета аналогичен предыдущему примеру 2.1.

1 Проводим кинематический анализ стержневой системы. Степень статической неопределимости W = 3∙1 - 2∙0 – 7 = - 4, степень кинематической неопределимости n = n_у + n_л = 0 + 1 = 1.

2 Выбираем основную систему метода перемещений (рис. 2.17, б).

3 Записываем каноническое уравнение метода перемещений

Z₁r₁₁ + R_1p = 0.

4 Для определения единичной r₁₁ и грузовой R_1P реакций строим единичную (рисунок 2.18,б) и грузовую (рисунок 2.19,б) эпюры, используя таблицы реакций.

5 Рассматривая равновесие ригеля рамы (рисунок 2.20), имея ввиду уравнение ∑х = 0, определяем значения реакций в наложенной связи.

6 Решаем каноническое уравнение и определяем значение неизвестного. В этой задаче неизвестным является горизонтальное смещение ригеля..

7 Строим эпюру М₁, как: М₁ = ×Х₁ (рисунок 2.21, а)и, далее, строим результирующую эпюру М, в виде суммы М = М₁ + М_Р (рисунок 2.21, б).

8 Путем графического дифференцирования строим эпюру Q и, рассматривая равновесие узлов, определяем продольные усилия и строим эпюру N (рисунок 2.22).

9 Выполняем статическую проверку рамы в целом (рисунок 2.23).

q×2l – 13ql/8 – -3ql/8 = 0,

Уравнения равновесия выполняются.

Пример 2.3 Для заданной статически неопределимой рамы, показанной на рисунке 2.24, требуется построить эпюры внутренних усилий. Исходные данные: l = 4 м, h = 6 м, q = 2кН/м, Р = 10 кН, EI = const.

Решение.

1 Степень кинематической неопределимости рассматриваемой рамы составляет

n ₌ n_{у +} n_{л =} 1 + 1 = 2.

2 Система канонических уравнений в данном случае имеет вид

z₁∙r₁₁ + z₂∙r₁₂+ R_1Р = 0,

z₁∙r₂₁ + z₂∙r₂₂+ R_2Р = 0.

3 Используя таблицы (см. приложение В) строим единичные и грузовую эпюры. Для этого последовательно создаем единичные и грузовое состояния с показом ожидаемого деформированного вида, которые показаны на рисунках 2.25, 2.26, 2.27. Это помогает правильно воспользоваться таблицами реакций для построения эпюр изгибающих моментов. Необходимо помнить, что эпюры М строятся на растянутых волокнах.

4 Вычисляем единичные коэффициенты.

Для вычисления реакции r₁₁ вырежем узел с заделкой на эпюре (рисунок 2.25) и рассмотрим его равновесие под действием реактивных моментов, возникающих по концам стержней и реакции в заделке r₁₁, которую направляем по направлению единичного воздействия Z₁ = 1.

Во втором единичном состоянии при отклонении вправо в стержнях появляются реакции, направленные влево (рисунок 2.26). Тогда

При определении побочных коэффициентов (т. е. реакций) воспользуемся правилом, что r₁₂ = r₂₁. Рассмотрим эпюру , где наглядно видно, что в первой наложенной связи при смещении Z₂ = 1 возникает момент 6EI/h², растягивающий правые волокна (рисунок 2.26) – направленный в сторону перемещения Z₁.

Реакция r₁₂ будет равна:

При определении знака поперечной реакции удобно пользоваться правилом знаков для поперечной силы – положительная поперечная сила вращает узел по часовой стрелке.

Грузовые коэффициенты определим по эпюре М_р. Вырежем узел с наложенной заделкой и рассмотрим действующие на нее моменты (рисунок 2.31). Реакция R_1Р, возникающая в виде реактивного момента в заделке из условий равновесия будет

Минус у реакции R_1P означает, реакция направлена в сторону, обратную первому единичному воздействию.

Реакция R_2Р, возникающая в веденной опоре правого узла, равна верхней реакции в стойке от действия распределенной нагрузки (R_В).

Σх = 0. R_2Р = – R_В = – 6 кН_.

Знак минус означает, что реакция направлена в сторону, обратную линейному смещению z₂.

Запишем систему канонических уравнений с учетом полученных коэффициентов и свободных членов.

5 Решая записанную систему уравнений, получим

6 Построение окончательной эпюры изгибающих моментов для заданной системы производим на основании принципа независимости действия сил по формуле

M = Z₁ + Z₂ + M_p,

т. е. путем сложения эпюр от неизвестных (рисунок 2.32) и грузовой эпюры (рисунок 2.27). Эпюры от неизвестных получаются путем умножения единичных эпюр на значения соответствующих Z_i.

7 Для проверки правильности построения эпюры М производим статическую и деформационную проверки.

Для статической проверки, как и в методе сил, вырезаются незакрепленные жесткие узлы из эпюры М, прикладываются действующие в нем изгибающие моменты и проверяется выполнение уравнения Sm = 0. В нашем случае разность моментов в узле В равна 0,05 кНм, что составляет 1,2%.

Деформационная проверка проводится с применение метода сил и заключается в определении перемещений тех сечений, чье перемещение исключено. Так, если выбрать основную систему метода сил с использованием шарнирных узлов в опоре А и в узле В, то угол поворота сечения А должен быть равен нулю, поскольку в заданной системе в точке А жесткая опора.

Для его вычисления создадим единичное состояние метода сил (рисунок 2.33), построим единичную эпюру от единичного момента и перемножим результирующую эпюру на единичную.

8 Построение эпюр Q и N.

Как и в методе сил, эпюры поперечных сил строятся с использованием формулы графического дифференцирования эпюры моментов

а эпюра продольных сил строится путем рассмотрения равновесия узлов рамы.

В нашем примере:

Левая стойка.

Q_л = 10,28 кН, Q_пр = – 1,72 кН.

Поперечная сила меняет знак, следовательно, момент в пролете будет иметь экстремум.

Левая часть ригеля

Правая часть ригеля

Правая стойка

Строим эпюру Q (рисунок 2.34,а).

Вырезая левый и правый узлы рамы и рассматривая их равновесие (рисунок 2.34,б), находим продольные усилия в стойках и ригеле и строим эпюру продольных сил N (рисунок 2.34,в).

9 В заключение, проводим статическую проверку по аналогии со статической проверкой в методе сил. Отсекаем раму от всех опор и прикладываем в местах отсечений силовые факторы (реакции) по эпюрам M, Q, N (рисунок 2.35).

Должны выполняться все три уравнения равновесия.

Sx = 0, q∙6 – 10.28 – 1.72 = 12 – 12 =0.

Sy = 0, - P + 3.925 + 6.05 = 10 – 9.975 = 0,025 ≈ 0.

Погрешность d = 0.025∙100/10 = 0.25%

Sm_A = 0, - P∙2 - q∙6∙3 + M_A + M_D + N_D∙ 4 = - 20 – 36 + 21.45 + 10.32 +24.2 =

= 55.97 – 56 = 0.03 ≈ 0.

Погрешность d = 0,03∙100/56 = 0,05%. Т. е. равновесие рамы обеспечено с допустимой погрешностью.

Ниже приводятся задачи по определению внутренних усилий в статически неопределимых системах методом перемещений.