Примеры расчета статически неопределимой рамы методом

Перемещений

Пример 2.1. Построить эпюры внутренних усилий для рамы, показанной на рисунке 2,10, а.

Решение.

1 Проводим кинематический анализ стержневой системы. Степень статической неопределимости W = 3∙1 - 2∙0 – 7 = - 4, степень кинематической неопределимости n = nу + nл = 1 + 0 = 1.

2 Выбираем основную систему метода перемещений (рис. 2.10, б).

 

3 Записываем каноническое уравнение метода перемещений

Z1r11 + R1p = 0.

4 Для определения единичной r11 и грузовой R1P реакций строим единичную (рисунок 2.11,а) и грузовую (рисунок 2.11,в) эпюры, пользуясь Таблицей реакции (Приложение В). На рисунках 2.10,в и 2.11,б показаны единичное и грузовое состояния.

 

5 Рассматривая равновесие узлов (рисунок 2.12), имея ввиду уравнение

m = 0, определяем значения реакций.

 

r11 = 2EI + 2EI + EI = 5EI,

R1p = 4P/8 = 5 кН.

 

6 Решаем каноническое уравнение и определяем значение неизвестного. Напомним, что это угол поворота жесткого узла.

 

7 Строим эпюру М1, как: М1 = ×Х1 (рисунок 2.13, а)и, далее, строим результирующую эпюру М, в виде суммы М = М1 + МР (рисунок 2.13, б). Проводим проверку равновесия жесткого узла.

 

Статическая проверка узла

 

8 Путем графического дифференцирования строим эпюру Q и, рассматривая равновесие узла, определяем и строим эпюру N (рисунок 2.15).

 

9 Выполняем статическую проверку рамы в целом (рисунок 2.16).

 

 

- 2,31 + 10 -2,31 – 5,375 = 10 – 9,995 ≈ 0,

Уравнения равновесия выполняются.

 

Пример 2.2Построить эпюры внутренних усилий для рамы, показанной на рисунок 2.17,а.

Решение.

Порядок расчета аналогичен предыдущему примеру 2.1.

1 Проводим кинематический анализ стержневой системы. Степень статической неопределимости W = 3∙1 - 2∙0 – 7 = - 4, степень кинематической неопределимости n = nу + nл = 0 + 1 = 1.

2 Выбираем основную систему метода перемещений (рис. 2.17, б).

3 Записываем каноническое уравнение метода перемещений

 

Z1r11 + R1p = 0.

 

4 Для определения единичной r11 и грузовой R1P реакций строим единичную (рисунок 2.18,б) и грузовую (рисунок 2.19,б) эпюры, используя таблицы реакций.

5 Рассматривая равновесие ригеля рамы (рисунок 2.20), имея ввиду уравнение ∑х = 0, определяем значения реакций в наложенной связи.

 

 

6 Решаем каноническое уравнение и определяем значение неизвестного. В этой задаче неизвестным является горизонтальное смещение ригеля..

7 Строим эпюру М1, как: М1 = ×Х1 (рисунок 2.21, а)и, далее, строим результирующую эпюру М, в виде суммы М = М1 + МР (рисунок 2.21, б).

 

8 Путем графического дифференцирования строим эпюру Q и, рассматривая равновесие узлов, определяем продольные усилия и строим эпюру N (рисунок 2.22).

9 Выполняем статическую проверку рамы в целом (рисунок 2.23).

 

q×2l – 13ql/8 – -3ql/8 = 0,

Уравнения равновесия выполняются.

 

 

Пример 2.3 Для заданной статически неопределимой рамы, показанной на рисунке 2.24, требуется построить эпюры внутренних усилий. Исходные данные: l = 4 м, h = 6 м, q = 2кН/м, Р = 10 кН, EI = const.

Решение.

1 Степень кинематической неопределимости рассматриваемой рамы составляет

n = nу + nл = 1 + 1 = 2.

2 Система канонических уравнений в данном случае имеет вид

z1r11 + z2r12+ R1Р = 0,

z1r21 + z2r22+ R2Р = 0.

3 Используя таблицы (см. приложение В) строим единичные и грузовую эпюры. Для этого последовательно создаем единичные и грузовое состояния с показом ожидаемого деформированного вида, которые показаны на рисунках 2.25, 2.26, 2.27. Это помогает правильно воспользоваться таблицами реакций для построения эпюр изгибающих моментов. Необходимо помнить, что эпюры М строятся на растянутых волокнах.

 

 

 

 

 

4 Вычисляем единичные коэффициенты.

Для вычисления реакции r11 вырежем узел с заделкой на эпюре (рисунок 2.25) и рассмотрим его равновесие под действием реактивных моментов, возникающих по концам стержней и реакции в заделке r11, которую направляем по направлению единичного воздействия Z1 = 1.

Во втором единичном состоянии при отклонении вправо в стержнях появляются реакции, направленные влево (рисунок 2.26). Тогда

 

При определении побочных коэффициентов (т. е. реакций) воспользуемся правилом, что r12 = r21. Рассмотрим эпюру , где наглядно видно, что в первой наложенной связи при смещении Z2 = 1 возникает момент 6EI/h2, растягивающий правые волокна (рисунок 2.26) – направленный в сторону перемещения Z1.

Реакция r12 будет равна:

 

 

При определении знака поперечной реакции удобно пользоваться правилом знаков для поперечной силы – положительная поперечная сила вращает узел по часовой стрелке.

 

Грузовые коэффициенты определим по эпюре Мр. Вырежем узел с наложенной заделкой и рассмотрим действующие на нее моменты (рисунок 2.31). Реакция R1Р, возникающая в виде реактивного момента в заделке из условий равновесия будет

 

Минус у реакции R1P означает, реакция направлена в сторону, обратную первому единичному воздействию.

Реакция R2Р, возникающая в веденной опоре правого узла, равна верхней реакции в стойке от действия распределенной нагрузки (RВ).

Σх = 0. R = – RВ = – 6 кН.

Знак минус означает, что реакция направлена в сторону, обратную линейному смещению z2.

Запишем систему канонических уравнений с учетом полученных коэффициентов и свободных членов.

5 Решая записанную систему уравнений, получим

 

 

6 Построение окончательной эпюры изгибающих моментов для заданной системы производим на основании принципа независимости действия сил по формуле

M = Z1 + Z2 + Mp,

 

т. е. путем сложения эпюр от неизвестных (рисунок 2.32) и грузовой эпюры (рисунок 2.27). Эпюры от неизвестных получаются путем умножения единичных эпюр на значения соответствующих Zi.

7 Для проверки правильности построения эпюры М производим статическую и деформационную проверки.

Для статической проверки, как и в методе сил, вырезаются незакрепленные жесткие узлы из эпюры М, прикладываются действующие в нем изгибающие моменты и проверяется выполнение уравнения Sm = 0. В нашем случае разность моментов в узле В равна 0,05 кНм, что составляет 1,2%.

Деформационная проверка проводится с применение метода сил и заключается в определении перемещений тех сечений, чье перемещение исключено. Так, если выбрать основную систему метода сил с использованием шарнирных узлов в опоре А и в узле В, то угол поворота сечения А должен быть равен нулю, поскольку в заданной системе в точке А жесткая опора.

Для его вычисления создадим единичное состояние метода сил (рисунок 2.33), построим единичную эпюру от единичного момента и перемножим результирующую эпюру на единичную.



8 Построение эпюр Q и N.

Как и в методе сил, эпюры поперечных сил строятся с использованием формулы графического дифференцирования эпюры моментов

а эпюра продольных сил строится путем рассмотрения равновесия узлов рамы.

В нашем примере:

Левая стойка.

Qл = 10,28 кН, Qпр = – 1,72 кН.

Поперечная сила меняет знак, следовательно, момент в пролете будет иметь экстремум.

Левая часть ригеля

Правая часть ригеля

Правая стойка

Строим эпюру Q (рисунок 2.34,а).

 

 

Вырезая левый и правый узлы рамы и рассматривая их равновесие (рисунок 2.34,б), находим продольные усилия в стойках и ригеле и строим эпюру продольных сил N (рисунок 2.34,в).

9 В заключение, проводим статическую проверку по аналогии со статической проверкой в методе сил. Отсекаем раму от всех опор и прикладываем в местах отсечений силовые факторы (реакции) по эпюрам M, Q, N (рисунок 2.35).

Должны выполняться все три уравнения равновесия.

 

Sx = 0, q∙6 – 10.28 – 1.72 = 12 – 12 =0.

 

Sy = 0, - P + 3.925 + 6.05 = 10 – 9.975 = 0,025 ≈ 0.

Погрешность d = 0.025∙100/10 = 0.25%

SmA = 0, - P∙2 - q∙6∙3 + MA + MD + ND∙ 4 = - 20 – 36 + 21.45 + 10.32 +24.2 =

= 55.97 – 56 = 0.03 ≈ 0.

Погрешность d = 0,03∙100/56 = 0,05%. Т. е. равновесие рамы обеспечено с допустимой погрешностью.

 

Ниже приводятся задачи по определению внутренних усилий в статически неопределимых системах методом перемещений.

 

 

 

 

 

 

 






Дата добавления: 2017-02-13; просмотров: 8031; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2019 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь
Генерация страницы за: 0.023 сек.