ОРТОГОНАЛЬНОЕ (ПРЯМОУГОЛЬНОЕ) ПРОЕЦИРОВАНИЕ

И ЕГО СВОЙСТВА

Изображение пространственных тел на плоскости основано на методе проецирования.

Представим некоторую заданную плоскость П₁ и точку А в пространстве (рис. 11). Луч, проведенный из точки S через точку А в направлении плоскости П₁, пересечет ее в некоторой точке А₁. Точку А называют проецируемой точкой, плоскость П₁, на которой получают проекцию, называют плоскостью проекций. Точка пересечения луча с плоскостью называется проекцией точки А. Луч, при помощи которого находится проекция точки, называется проецирующим лучом.

Рис. 11 Проецирование точки на плоскость

При центральном проецированиии (рис. 12) проецирующие лучи проходят через одну и ту же точку, называемую центром проецирования. При центральном проецировании происходит искажение формы, размеров и некоторых других свойств предмета.

Рис. 12 Центральная проекция плоского треугольника

Рис. 13 Параллельная проекция плоского треугольника

Проекция предмета, построенная методом центрального проецирования, называется перспективой.

При параллельном проецировании используют «пучок» параллельных проецирующих лучей, проходящих через все точки проецируемого предмета (рис. 13).

В зависимости от угла наклона проецирующих лучей к плоскости проекций параллельное проецирование бывает прямоугольным – когда проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций, и косоугольным – проецирующие лучи не перпендикулярны к плоскости проекций. Прямоугольные проекции называют также ортогональными.

Рассмотрим основные свойства ортогонального проецирования.

1. Точка проецируется в точку (проекцией точки является точка).

2. Прямая, в общем случае, проецируется в прямую. Прямая, перпендикулярная плоскости проекций, проецируется в точку.

3. Если точка принадлежит прямой, то ее проекция принадлежит проекции прямой.

4. Пересекающиеся прямые в общем случае проецируются в пересекающиеся прямые. Это легко доказать, если для точки пересечения прямых применить свойство 3.

5. Параллельные прямые в общем случае проецируются в параллельные прямые.

6. Отрезок проецируется в отрезок. Отрезок, перпендикулярный плоскости проекций, проецируется в точку. Длина проекции отрезка равна длине отрезка, умноженной на косинус угла наклона отрезка к плоскости проекций (при проецировании на П₁: |A₁B₁| = | AB| cos α).

Отрезок параллельный плоскости проекций проецируется на нее в параллельный и равный себе отрезок.

7. Отношение длин отрезков AB и CD, лежащих на параллельных прямых или на одной прямой, при проецировании не меняется.

8. Фигура, принадлежащая плоскости параллельной плоскости проекций, проецируется на плоскость проекций в равную ей фигуру (в натуральную величину).

9. Если две плоскости проекций параллельны, то проекции любой фигуры на эти плоскости равны.