Бесконечно малые функции и их свойства

Понятие функции

Пусть даны два множества и

Определение 1.Говорят, что на множеситве задана функция отображающая множество в множество если каждому элементу поставлен в соответствие единственный элемент по закону При этом называется аргументом функции а значением этой функции (при указаннном значении аргумента ). Множество называется областью определения функции (обозначение: ), а множество называется множеством значений этой функции.

Чаще всего функцию задают двумя способами: а) табличный способ (здесь для каждого аргумента указывается соответствующий ) и б) аналитически (формулой; например ). При аналитическом задании функции в качестве области определения обычно берут естественную область определения, т.е. множество { выражение имеет смысл }. Например, Будет также использоваться обозначение для множества всех значений когда пробегает подмножество

Предел функции

Сначала дадим понятие предела функции в конечной точке Различают проколотую - окрестность точки которая определяется как симметричный интервал с выброшенной точкой

и просто - окрестность точки совпадающую с указанным интервалом:

Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности точки (в самой точке функция можеть быть определена или нет; её значение в точке не существенно).

Определение 2. Говорят, что число P является пределом функции в точке ( или при если для произвольного числа найдется число (зависящее, вообще говоря, от такое, что для всех значений , удовлетворяющих неравенству будет иметь место неравенство При этом пишут и читают: “ предел функции при равен ”.

Это определение записывают кратко так:

Отметим, что в этом определении не фигурирует значение функции в точке ( стремится к но так как Это означает, что предел не зависит от того, каким является значение функции в точке Например, функции

имеют один и тот же предел в точке

Геометрически высказывание (1) означает, что для любого существует число такое, что кривая при всех лежит внутри полосы Если эта ситуация будет иметь место для произвольного интервала (или, что то же самое, для произвольного то число будет пределом функции при . Если же существует интервал такой, что в любой проколотой окрестности точки найдется абсцисса для которой то Геометрические соображения часто используют при доказательстве существования пределов для конкретных функций.

Теорема 1. Если существует (конечный) предел , то он единственен, а сама функция f(x) является ограниченной при , т.е.

существуют постоянные такие, что для всех из проколотой окрестности точки имеет место неравенство

Замечание 1.Если функция удовлетворяет условию, записанному в рамке,то ее называют функцией класса и пишут Функции класса обладают следующими очевидными свойствами.

Теорема 2. Если и то

Бесконечно малые функции и их свойства

Определение 3. Функция называется бесконечно малой функцией в точке или функцией класса , если При этом пишут Таким образом,

Например, функция а функции не являются функциями класса

Теорема 3. Имеют место следующие свойства класса

Если то т.е.

Доказательство. Свойство очевидно. Докажем свойство (другие свойства доказываются аналогично). Пусть и Тогда для произвольного существуют числа такие, что

Выберем Тогда будут иметь место одновременно неравенства (2) и (3). Складывая их, получим, что

Это и означает, что т.е. верно свойство . Теорема доказана.

Следующая теорема устанавливает связь между бесконечно малыми функциями и функциями, имеющими предел при

Теорема 4. Если существует (конечный) предел то Обратно: если функция представляется в виде то имеет предел в точке и

Доказательство. Существование предела эквивалентно высказыванию

Высказывание (4), в свою очередь, эквивалентно тому, что функция т. е. что Теорема доказана.

Замечание 2. Равенство называют асимптотическим разложением функции имеющей предел в точке

И, наконец, дадим определение предела функции в бесконечности. Сделаем это кратко.

Определение 4. Множества

называются окрестностями точек соответственно. Следующие высказывания являются определениями предела функции в бесконечности:

Перейдем теперь к обоснованию арифметических действий над пределами.

Теорема 5. Если существуют (конечные) пределы то и существуют пределы при этом

Если (кроме существования пределов и ) выполняется ещё условие то существует предел причем

Доказательство. Докажем, например, теорему о пределе произведения. Так как существуют пределы то по теореме 4 имеют место асимптотические разложения Умножая эти равенста друг на друга, будем иметь Поскольку то (см. теорему 3). Далее, поскольку то функция представляется в виде По теореме 14 отсюда следует, что существует предел произведения при и он равен

Теорема доказана.

6. Эквивалентные бесконечно малые. Таблица эквивалентных бесконечно малых

Введем следующее понятие. Пусть конечная или бесконечная точка и пусть функ-

ции и определены в некоторой проколотой окрестности точки

Определение 4.Две бесконечно малые функции и (при ) называются

эквивалентными, если в некоторой проколотой окрестности и если

При этом пишут:

Важность этого понятия становится ясной при формулировке следующего утверждения.

Теорема 6. Если и если существует предел то существует и предел и он также равен числу

Доказательство.Переходя в тождестве к пределу при и учитывая, что получаем утверждение теоремы.

Используя эту теорему, а также таблицу эквивалентных бесконечно малых:

Таблица 1.

Если при то при верны следующие соотношения:

const.

можно без особого труда вычислять пределы конкретных функций.

Пример 1.