Производные и дифференциалы высших порядков
Производная есть сама функция от поэтому можно взять от нее производную. Полученная таким образом функция (если она существует) называется второй производной от функции и обозначается И вообще:
если известна производная ( порядка), то производная го порядка определяется так: При этом функция называется раз дифференцируемой в точке
Аналогично определяются дифференциалы высшего порядка. Именно:
если известен дифференциал порядка то дифференциал го порядка определяется так: при этом дифференциал независимой переменной и все его степени считаются постоянными дифференцирования.
Имеем И вообще, справедливо утверждение: если функция дифференцируема раз в точке то
Нетрудно доказать следующее утверждение.
Теорема 1. В области определения выписанных ниже функций справедливы равенства:
Производные порядка являются линейными операциями, т.е.
Производная порядка для произведения вычисляется довольно сложно.
Формула Лейбница. Если функции дифференцируемы раз в точке то имеет место равенство
Здесь: число сочетаний из элементов по нулевая производная функции совпадает с ней самой: Легко видеть, что формула (1) напоминает формулу бинома Ньютона; только в ней вместо произведения степеней стоит произведение производных Учитывая это, легко записать, например, третью производную от произведения:
Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 1272;