Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле

Если область D является простой , то для вычисления двойного интеграла применимы обе формулы (1.5) и (1.6) .Следовательно :

.

Это равенство показывает , что повторное интегрирование не зависит от порядка интегрирования .

Этим обстоятельством часто пользуются при вычислении двойных интегралов , выбирая ту из двух формул , которая приводит к более простым выкладкам .

Пример 6.8.4.

Изменить порядок интегрирования в следующем интеграле :

.

Решение

Область интегрирования непосредственно не дана . Мы должны выяснить её вид по пределам повторных интегралов .Итак , по пределам повторных интегралов восстановим область D интегрирования .

Так как внутренний интеграл берётся по х , то пределы внутреннего интеграла показывают , какими линиями область D ограничена слева и справа .

Уравнения этих линий : Û (х –1)² + у² = 1; х =2 ; х= у

Приступим к изменению порядка интегрирования :

Этот пример показывает , как важно с самого начала продумать порядок интегрирования , т.е. предварительно следует посмотреть , для какой переменной лучше выбрать постоянные пределы интегрирования и выбрать тот способ . при котором двойной интеграл будет представлен меньшим числом повторного интеграла .

Пример 6.8.4. – Изменить порядок интегрирования в интеграле

y =e^x ,

y = 2 ,Ûe^x = 2 Þx = ln 2 .

Пример 6.8.5.Вычислить по области D , ограниченной линиями :