Уравнения в полных дифференциалах.

Если левая часть дифференциального уравнения первого порядка

(7.91)

где непрерывные функции со своими непрерывными частными производными, является полным дифференциалом некоторой функции то есть

(7.92)

то оно называется уравнением в полных дифференциалах.

Необходимым и достаточным условием того, чтобы уравнение (7.91) было уравнением в полных дифференциалах, является выполнение соотношения

(7.93)

Итак, если уравнение (7.91) есть уравнение в полных дифференциалах, то оно эквивалентно уравнению интегрирование которого дает нам общее решение (7.91) в виде

(7.94)

где произвольная постоянная.

Теперь перейдем к нахождению функции Для этого сначала интегрируем, например, уравнение по ( при этом считается постоянным параметром)

(7.95)

а потом подставляем (7.95) в уравнение В результате получим

(7.96)

Из (7.96) путем интегрирования по ( при этом считается постоянным параметром) находим функцию а, следовательно, находим и искомую функцию Далее, подставляя найденное выражение для в (7.94), получим общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах (7.91).

Пример 7.17.Решить уравнение

(7.97)

Решение.Поскольку

(7.98)

то данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Интегрируя уравнение

(7.99)

по переменной ( постоянный параметр), получим

(7.100)

Подставляя полученное выражение для в уравнение

(7.101)

получим

(7.102)

Отсюда

(7.103)

где произвольная постоянная. Таким образом, согласно (7.94) с учетом (7.100) и (7.103) общее решение исходного уравнения (7.97) имеет вид

(7.104)

где есть новая произвольная постоянная.

Ответ: