Линейные неоднородные уравнения. Метод подбора нахождения частного решения.

Дифференциальное уравнение вида

(7.170)

где действительные постоянные числа, непрерывная функция на рассматриваемом интервале , неизвестная функция и ее производные входят в уравнение линейно, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением го порядка с постоянными действительными коэффициентами. В частности неоднородное уравнение второго порядка имеет вид

(7.171)

Из теории линейных дифференциальных уравнений известно, что общее решение линейного неоднородного уравнения (7.170) равно сумме общего решения соответствующего ему однородного уравнения (7.153) и одного частного решения неоднородного уравнения (7.170), то есть

(7.172)

Общее решение однородного уравнения находим методом Эйлера. Для нахождения

частного решения неоднородного уравнения (7.170) можно пользоваться методом

неопределенных коэффициентов (метод подбора), если правая часть (7.170) имеет вид

(7.173)

где многочлен степени относительно многочлен степени относительно

Если число не совпадает ни с одним корнем характеристического уравнения, то частное решение надо искать в виде

(7.174)

где и многочлены степени с неопределенными коэффициентами.

Если число совпадает с корнями характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения надо искать в виде

(7.175)

где и многочлены степени с неопределенными коэффициентами. Отметим также, что если правая часть неоднородного уравнения (7.173) представляет собой сумму из функций вида (7.173), то частное решение такого неоднородного уравнения равно сумме частных решений неоднородного уравнения (7.170) с правыми частями, равными, соответственно, то есть

(7.176)

Пример 7.27.Найти общее решение линейного неоднородного уравнения

(7.177)

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни Общее решение однородного уравнения имеет вид

(7.178)

где и произвольные постоянные. Так как согласно правой части (7.177) и не совпадает ни с одним корнем характеристического уравнения, то частное решение исходного неоднородного уравнения ищем в виде

(7.179)

где пока неопределенные постоянные коэффициенты. Подставляя

в исходное уравнение (7.177), получим

(7.180)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях (7.180),

приходим к системе алгебраических уравнений относительно неопределенных коэффициентов

(7.181)

Отсюда Подставляя найденные значения в (7.179), получим

(7.182)

Общее решение уравнения (7.177) согласно (7.172) будет иметь вид

(7.183)

где и произвольные постоянные.

Ответ:

Пример 7.28.Найти частное решение уравнения (задача Коши)

(7.184)

Решение. Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения имеет корни Общее решение однородного уравнения запишется в виде

(7.185)

где и произвольные постоянные. Поскольку и число совпадает с одним корнем характеристического уравнения, то частное решение исходного неоднородного уравнения ищем в виде

(7.186)

где пока неопределенный постоянный коэффициент. Подставляя (7.186) в исходное уравнение (7.184) и проводя вычисления, получим Следовательно, а общее решение исходного неоднородного уравнения запишется в виде

(7.187)

Теперь перейдем к нахождению частного решения исходного уравнения. Учет начальных условий Коши (см. (7.184)) приводит к следующей системе уравнений для определения и

(7.188)

Отсюда имеем

(7.189)

Из (7.187) с учетом (7.189) получим решение задачи Коши для исходного неоднородного уравнения в виде

(7.190)

Ответ:

Пример 7.29. Решить уравнение

(7.191)

Решение. Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения имеет корни Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид

(7.192)

где и произвольные постоянные.

Частные решения уравнения (7.191) найдем методом неопределенных коэффициентов. В правой части уравнения (7.191) стоит сумма двух функций и каждую из которых можно представить в виде (7.173). Для функции имеем а для функции имеем Согласно (7.176) частное решение уравнения (7.191) складывается из двух частных решений

(7.193)

где частное решение неоднородного уравнения

(7.194)

a частное решение неоднородного уравнения

(7.195)

ищем в виде ( и это число не совпадает ни с одним корнем характеристического уравнения)

(7.196)

где и пока неопределенные постоянные коэффициенты. Подставляя в (7.194) и производя вычисления, найдем Следовательно,

(7.197)

ищем в виде ( и это число не совпадает ни с одним корнем характеристического уравнения)

(7.198)

где и пока неопределенные постоянные коэффициенты. Подставляя в (7.195) и производя вычисления, найдем Следовательно,

(7.199)

Тогда согласно (7.193) имеем

(7.200)

Окончательно, общее решение исходного неоднородного уравнения запишется в виде

(7.201)

Ответ:

Задачи с ответами.

7.4.1. Найти общее решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

Ответ:

7.4.2. Найти решение задачи Коши

Ответ:

7.4.3. Найти общее решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

Ответ:

7.4.4. Найти общее решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

Ответ:

7.4.5. Найти общее решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

Ответ:

7.4.6. Найти общее решение обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка

Ответ:

7.4.7. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка

Ответ:

7.4.8. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка

Ответ:

7.4.9. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения третьего порядка

Ответ:

7.4.10. Национальный доход в простой макроэкономической модели Калецкого описывается дифференциальным уравнением первого порядка

где Найти , если

Ответ:

7.4.11. Функция спроса зависит от времени по формуле а функция предложения зависит от времени по формуле где цена товара. Найти зависимость равновесной цены от времени, если в начальный момент времени

Ответ:

7.4.12. Число новорожденных за единицу времени (один год) пропорционально численности населения с коэффициентом а число умерших – с коэффициентом Найти формулу. Определяющую численность населения через лет, если в настоящий момент она равна

Ответ:

7.4.13. Цена товара в начале составляет 36 рублей, а через недель – рублей. Если спрос определяется равенством а предложение – то как должна изменяться цена товара , чтобы спрос равнялся предложению.

Ответ:

7.4.14. Полные издержки есть функция объема производства Найти функцию издержек если известно, что предельные издержки для всех значений равняются средним издержкам