Скалярное произведение векторов. Длина вектора.

Как рассчитать длину вектора? Из рисунка 7.4 видно, что на плоскости она равна длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами длиной х₁ и х₂.

х₂

х₁

х₁

х₂

Рисунок 7.4 – Длина вектора

Таким образом, длина вектора рассчитывается, как корень квадратный из суммы квадратов его координат . Аналогично рассчитывается длина n-мерного вектора . Если вспомнить, что каждая координата вектора – это разность между координатами конца и начала, то мы получим формулу длины отрезка, т.е. евклидова расстояния между точками.

Скалярное произведение двух векторов на плоскости – это произведение длин этих векторов на косинус угла между ними: . Можно доказать, что скалярное произведение двух векторов = (х₁, х₂) и = (y₁, y₂) равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов: = х₁ * y₁ + х₂ * y₂.

В n-мерном пространстве скалярное произведение векторов
X = (х₁, х₂,...,х_n) и Y= (y₁, y₂,...,y_n) определяется, как сумма произведений их соответствующих координат: X*Y = х₁ * y₁ + х₂ * y₂ + ... + х_n * y_n.

Операция умножения векторов друг на другу аналогична умножению матрицы-строки на матрицу-столбец. Подчеркнем, что в результате будет получено число, а не вектор.

Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами (аксиомы):

1) Коммутативное свойство: X*Y = Y*X.

2) Дистрибутивное относительно сложения свойство:
X(Y + Z) = X*Y + X*Z.

3) Для любого действительного числа l .

4) , если X– не нулевой вектор; если X– нулевой вектор.

Линейное векторное пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее четырем соответствующим аксиомам, называется евклидовым линейным векторным пространством.

Легко заметить, что при умножении любого вектора самого на себя мы получим квадрат его длины . Поэтому по-другому длинувектора можно определить, как корень квадратный из его скалярного квадрата: .

Длина вектора обладает следующими свойствами:

1) |X| = 0 Û Х = 0;

2) |lX| = |l|*|X|, где l – действительное число;

3) |X*Y| £ |X|*|Y| (неравенство Коши-Буняковского);

4) |X+Y| £ |X|+|Y| (неравенство треугольника).

Угол j между векторами в n-мерном пространстве определяется, исходя из понятия скалярного произведения. В самом деле, если , то . Эта дробь по модулю не больше единицы (согласно неравенству Коши-Буняковского), поэтому отсюда можно найти j.

Два вектора называют ортогональными или перпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю. Из определения скалярного произведения следует, что нулевой вектор ортогонален любому вектору. Если оба ортогональных вектора ненулевые, то обязательно cos j = 0, т.е
j = p/2 = 90^о.

Рассмотрим еще раз рисунок 7.4. Из рисунка видно, что косинус угла a наклона вектора к горизонтальной оси можно рассчитать как , а косинус угла b наклона вектора к вертикальной оси как . Эти числа принято называть направляющими косинусами. Легко убедиться, что сумма квадратов направляющих косинусов всегда равна единице: cos²a + cos²b = 1. Аналогично можно ввести понятия направляющих косинусов и для пространств большей размерности.